Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Definitionsliste

Definition:Leere Menge

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Definition:Teilmenge

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Differenzmenge

Zu Mengen ${}A,B$ nennt man

${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$

die Differenzmenge „${}A$ ohne ${}B$“.

Definition:Komplement

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einer Menge ${}M$ heißt

${}M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$

das Komplement von ${}T$ (in ${}M$).

Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.

Definition:Kontraposition

Zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation ${}\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die zugehörige Kontraposition.

Definition:Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Endliche Menge

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Definition:Identische Abbildung

Es sei ${}M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$

die also jedes Element ${}x\in M$ auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf ${}M$. Sie wird mit ${}\operatorname {Id}$ oder ${}\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnet.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Definition:Konstante Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei ${}c\in M$ ein Element. Dann heißt die Abbildung

$L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$

die also jedes Element ${}x\in L$ auf ${}c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert ${}c$.

Definition:Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   • ${}0\in T$,
   • mit jedem Element
   ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

gelten, so ist ${}T=N$.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Definition:Addition

Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ${}n$ ausgehend ${}k$-fach den Nachfolger nimmt.

Definition:Multiplikation

Das Produkt ${}a\cdot b$ zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die ${}a$-fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.

Definition:Potenz

Zu einer natürlichen Zahl ${}a$ und einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

$a\cdot a\cdots a\cdot a$

(${}n$ Faktoren) die ${}n$-te Potenz von ${}a$. Sie wird mit ${}a^{n}$ bezeichnet.

Definition:Quadratzahl

Eine Zahl der Form ${}n^{2}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Definition:Größergleichrelation auf N

Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

${}n\geq k\,,$

wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

Definition:Maximum

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$ heißt ${}a$ das Maximum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\geq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

Definition:Minimum

Zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$ heißt ${}b$ das Minimum von ${}T$, wenn ${}b\in T$ ist und wenn ${}b\leq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

Definition:Differenz natürlicher Zahlen

Für natürliche Zahlen

${}a\geq b\,$

ist ${}a-b$ diejenige natürliche Zahl ${}c$ für die

${}a=b+c\,$

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen ${}a$ und ${}b$.

Definition:Kommutativer Halbring

Ein kommutativer Halbring ${}R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

   für alle

   ${}a,b,c\in R$.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Definition:Teilen (${}\mathbb {N}$)

Man sagt, dass die natürliche Zahl ${}a$ die natürliche Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl ${}t$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt für ${}i=1,\ldots ,k$.

Definition:Größter gemeinsamer Teiler

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Definition:Teilerfremd

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ besitzen.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{k}$

heißt eine natürliche Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.

Definition:Kleinstes gemeinsaes Vielfaches

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{k}$

heißt die Zahl ${}b$ das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen ${}\neq 0$ der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Definition:Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus ${}p$ und ${}p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$“.

Definition:Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.

Definition:Addition ( ${}\mathbb {Z}$ )

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen ${}a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

${}a+b:=a+b\,,$

${}a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$

Definition:Multiplikation ( ${}\mathbb {Z}$ )

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen ${}a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

${}a\cdot b:=a\cdot b\,,$

${}a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$

Definition:Betrag

Unter dem Betrag ${}\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl ${}n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl ${}-n$, falls ${}n$ negativ (und ${}-n$ positiv) ist.

Definition:Ring

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Gruppe

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Definition:Größergleichrelation auf ${}\mathbb {Z}$

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation ${}\geq$. Wir sagen

${}a\geq b\,,$

wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}a=b+n\,$

gibt.

Definition:Angeordneter Ring

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Untergruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Kommensurabel

Zwei Strecken ${}s$ und ${}t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke ${}g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von ${}g$ sind.

Definition:p-Exponent

Zu einer ganzen Zahl ${}n\neq 0$ und einer Primzahl ${}p$ nennt man den Exponenten, mit dem ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt, den ${}p$-Exponenten von ${}n$. Er wird mit ${}\nu _{p}(n)$ bezeichnet.

Definition:Proportional

Wenn zwischen zwei Größen ${}x$ und ${}y$ (die in ${}\mathbb {N}$, in ${}\mathbb {Z}$, in ${}\mathbb {Q}$, in ${}\mathbb {R}$ oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form

${}y=cx\,$

mit einer festen Zahl ${}c$ besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass ${}y$ proportional zu ${}x$ ist. Die Zahl ${}c$, die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.

Definition:Rationale Zahl

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit ${}\mathbb {Q}$ bezeichnet.

Definition:Gekürzter Bruch

Ein Bruch ${}a/b$ heißt gekürzt, wenn ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Definition:Stammbruch

Eine rationale Zahl der Form ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.

Definition:Addition auf ${}\mathbb {Q}$

Die Addition der rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

definiert.

Definition:Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$

definiert.

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Anordnung auf den rationalen Zahlen

Auf den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation ${}\geq$ durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern ${}b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definiert.

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Definition:Betrag (angeordneter Körper)

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes ${}x\in K$ folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Definition:Arithmetisches Mittel

Zu ${}n$ Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ in einem angeordneten Körper ${}K$ nennt man

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

das arithmetische Mittel der Zahlen.

Definition:Archimedisch angeordnet

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Definition:Gaußklammer

Zu einer rationalen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Definition:Gemischter Bruch

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n{\frac {a}{b}}$

mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N}$ und ${}a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist

$n+{\frac {a}{b}}.$

Definition:Wachsende Funktion

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

Definition:Streng wachsende Funktion

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ auch ${}f(x)<f(x')$ gilt.

Definition:Fallende Funktion

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ die Abschätzung ${}f(x)\geq f(x')$ gilt.

Definition:Streng fallende Funktion

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ die Abschätzung ${}f(x)>f(x')$ gilt.

Definition:Lineare Funktion

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Funktion der Form

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einem festen ${}c\in K$ heißt lineare Funktion.

Definition:Dezimalbruch

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.

Definition:Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem

Es sei ein Dezimalbruch

${\frac {a}{10^{k}}}$

mit ${}a=\pm b\in \mathbb {Z}$, ${}b\in \mathbb {N}$, und ${}k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei

${}b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$

die Dezimaldarstellung von ${}b$. Dann nennt man

$\pm b_{n}\cdots b_{k}{,}b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$

die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Definition:Prozent

Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.

Definition:Promille

Ein Promille ist ${}{\frac {1}{1000}}$.

Definition:(Ganzzahlige) Exponentialfunktion

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Definition:Folge

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Definition:Dezimalbruchfolge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.