Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 25

Das Archimedes-Axiom für die rationalen Zahlen

Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)

Lemma

Zu jeder rationalen Zahl ${}q$

gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}q\leq n\,.$

Beweis

Sei

${}q={\frac {a}{b}}\,$

mit positivem ${}b$. Wenn ${}a$ negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn ${}a$ nicht negativ ist, so ist

${}a\leq ba\,$

und damit

${}q\leq a\,$

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.

$\Box$

Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring ${}\neq 0$) die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ enthält.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Gemäß Lemma 25.1 sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt ***** sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe *****.

Lemma

In einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$

gibt es zu jedem Element ${}x\in K$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$ mit

${}n\leq x<n+1\,.$

Beweis

Dass es ganze Zahlen ${}a,b$ mit

${}a\leq x<b\,$

gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe *****. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen ${}a$ und ${}b$ gibt, findet man auch die zu ${}x$ nächstliegenden ganzen Zahlen.

$\Box$

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ${}y$ ist und egal wie klein ein positives ${}x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen ${}x$ die Zahl ${}y$ übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu ${}x,y\in K$ mit ${}x>0$ stets ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx>y$.

Beweis

Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Lemma 19.13 auch ${}nx\geq y$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}x>0$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.

Beweis

Es ist ${}x^{-1}$ eine nach Lemma 24.5  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n\geq x^{-1}>0$. Dies ist nach Lemma 24.5  (4) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$

$\Box$

Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei ${}B$ an eine sehr große und bei ${}\epsilon$ an eine sehr kleine Zahl.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x>1$.

Dann gibt es zu jedem ${}B\in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\geq B\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}x=1+u$ mit ${}u>0$. Aufgrund von Lemma 25.3 gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}nu\geq B-1$. Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung

${}x^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+B-1=B\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}0<x<1$.

Dann gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon \in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\leq \epsilon \,.$

Beweis

Sei ${}y:=x^{-1}$ und ${}B:=\epsilon ^{-1}$. Nach Lemma 25.5 gibt es ein ${}n$ mit

${}y^{n}\geq B\,.$

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Lemma 24.5  (4) die Behauptung.

$\Box$

Gemischte Brüche

Definition

Zu einer rationalen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Diese ganze Zahl ${}n$ existiert, da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die Rundung. Die Rundung einer rationalen (oder reellen) Zahl ${}x$ ist durch ${}\left\lfloor x+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$ definiert. Sie gibt an, welche ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die ${}{\frac {1}{2}}$-Werte abrundet.

Definition

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n{\frac {a}{b}}$

mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N}$ und ${}a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist

$n+{\frac {a}{b}}.$

Die natürliche Zahl ${}n$ heißt der ganzzahlige Anteil und ${}{\frac {a}{b}}$ heißt der Bruchanteil. Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von ${}7{\frac {1}{4}}$ mit dem Produkt ${}7\cdot {\frac {1}{4}}$. In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.

Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch ${}{\frac {c}{b}}$ erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest

${}c=nb+a\,$

mit ${}0\leq a<b$ durchführt und die Umformung

${}{\frac {c}{b}}={\frac {nb+a}{b}}=n+{\frac {a}{b}}=n{\frac {a}{b}}\,$

vornimmt. Insbesondere ist ${}n=\left\lfloor {\frac {c}{b}}\right\rfloor$. Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches ${}n{\frac {a}{b}}$ arbeitet man mit ${}n+{\frac {a}{b}}$. Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche ${}n+{\frac {a}{b}}$ und ${}m+{\frac {c}{d}}$ miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von ${}(n+m)+{\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)}$ ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese ${}1$ übertrifft oder nicht und gegebenenfalls ${}1$ zum ganzen Anteil dazuschlagen.

Monotone Abbildungen

Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ auch ${}f(x)<f(x')$ gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ die Abschätzung ${}f(x)\geq f(x')$ gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ die Abschätzung ${}f(x)>f(x')$ gilt.

Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow K$

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist ${}f$ injektiv.

Beweis

Es seien ${}x,y\in T$ verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist ${}x>y$ oder ${}y>x$, wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus

${}f(x)>f(y)\,$

und insbesondere sind ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden, also ist die Abbildung injektiv.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Funktion der Form

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einem festen ${}c\in K$ heißt lineare Funktion.

Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}c\in K$ und

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Bei ${}c>0$ ist ${}f$ streng wachsend.
2. Bei ${}c=0$ ist ${}f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
3. Bei ${}c<0$ ist ${}f$ streng fallend.

Beweis

Die Aussagen folgen aus Lemma 19.13, wenn man dort ${}\geq$ durch ${}>$ ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei

${}c>0\,$

und ${}x>y$. Dann ist

${}x-y>0\,$

und damit

${}c(x-y)>0\,,$

also

${}cx-cy>0\,$

und somit

${}cx>cy\,.$

$\Box$

Insbesondere ist die Negation

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto -x,$

streng fallend.

Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.

Die zweite Potenz ist im Positiven streng wachsend und im Negativen streng fallend.

Die dritte Potenz ist auf ganz ${}\mathbb {Q}$ bzw. ${}\mathbb {R}$ streng wachsend.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist streng wachsend.

2. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ ungerade streng wachsend.

3. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ gerade streng fallend.

Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar durch ${}n$-fache Anwendung von Lemma 19.13  (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Lemma 25.15  (3).

$\Box$

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