Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x-5y }
{ =} { 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+y+z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4x+7y-3z+6u+5v }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } x+ { \frac{ 8 }{ 5 } } y- { \frac{ 5 }{ 3 } } z }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Lösungsmenge der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y }
{ =} {6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde zum \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 3 } } x - { \frac{ 8 }{ 5 } } y- { \frac{ 3 }{ 2 } } z }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem  \zusatzklammer {also eines mit der gleichen Lösungsmenge} {} {,} dessen Koeffizienten zu $\Z$ gehören.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob die folgenden Tupel Lösungen des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-6y+4z }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x+5y-4z }
{ =} { -3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sind.

a)
\mathl{\left( -1 , \, 0 , \, 1 \right)}{,}

b)
\mathl{\left( 2 , \, 3 , \, { \frac{ 7 }{ 2 } } \right)}{,}

c)
\mathl{\left( 1 , \, 3 , \, 4 \right)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für drei Pappspieler und vier handsignierte Fotos zusammen 55 Euro und Heinz zahlt für fünf Pappspieler und drei handsignierte Fotos zusammen $66$ Euro. Wie viel kostet ein Pappspieler und wie viel kostet ein handsigniertes Foto?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {2x+3y =7 \text{ und } 5x+4y = 3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 3 }{ 7 } } x - { \frac{ 4 }{ 11 } } y = - { \frac{ 7 }{ 3 } } \text{ und } - { \frac{ 4 }{ 7 } }x+ { \frac{ 5 }{ 3 } }y = { \frac{ 6 }{ 5 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {x+y = 1 \text{ und } y = 1} { }
über dem Körper mit zwei Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {x = -8 \text{ und } y = 5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {x=5,\, 2 y=3,\, 4z+w=3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sie wollen für eine Party $100$ Liter an Getränken einkaufen und dafür $80$ \euro\ ausgeben. Sorte $A$ kostet $70$ Cent pro $1,25$-Liter-Flasche, Sorte B kostet $1,40$ \euro\ pro $750$-ml-Flasche. Wie viele Flaschen kaufen Sie von jeder Sorte? Zusatzfrage: Weil man nur ganze Flaschen kaufen kann, kommt man nicht exakt auf $100$ Liter und $80$ \euro . Wie groß ist der Fehler?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2 }{ 9 } } x + { \frac{ 3 }{ 10 } } y + { \frac{ 5 }{ 3 } } = - { \frac{ 1 }{ 7 } } x+ { \frac{ 6 }{ 5 } } y - { \frac{ 3 }{ 5 } } \text{ und } - { \frac{ 3 }{ 8 } }x+ { \frac{ 8 }{ 5 } }y - { \frac{ 1 }{ 3 } } = - { \frac{ 1 }{ 6 } }x+ { \frac{ 4 }{ 7 } }y + { \frac{ 1 }{ 5 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} durch die Gleichungen
\mathl{G_1 , \ldots , G_n}{} und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen
\mathl{H_1 , \ldots , H_m}{} gegeben, beide über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und in den Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_r}{.} Wie verhält sich die Lösungsmenge $L_1$ zum ersten System und die Lösungsmenge $L_2$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ sei ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in den Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen
\mathl{Y_1 , \ldots , Y_m}{} gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge $L_1$ zum ersten System und die Lösungsmenge $L_2$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} -4 x -2 y +6 z & = & 3 \\ 3 x +7 y +5 z & = & 2 \\ 5 x -2 y +4 z & = & -5 \, . \end{matrix}} { }
Finde Tupel
\mathl{(x,y,z)}{,} die je zwei dieser Gleichungen erfüllen, aber nicht die dritte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere Lemma 31.3, wenn nur eine Variable vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -7x-8y }
{ =} { 5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 3 }{ 4 } } x+ { \frac{ 7 }{ 2 } } y- { \frac{ 7 }{ 9 } } z + { \frac{ 6 }{ 7 } } w }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {4x-5y = 6 \text{ und } 2x+ 11y = -3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- { \frac{ 4 }{ 5 } } x - { \frac{ 3 }{ 8 } } y = - { \frac{ 3 }{ 5 } } \text{ und } - { \frac{ 6 }{ 7 } }x+ { \frac{ 1 }{ 8 } }y = { \frac{ 4 }{ 9 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 3 }{ 7 } } x + { \frac{ 4 }{ 11 } } y + { \frac{ 4 }{ 5 } } = - { \frac{ 1 }{ 2 } } x+ { \frac{ 6 }{ 5 } } y - { \frac{ 7 }{ 4 } } \text{ und } - { \frac{ 1 }{ 8 } } x+ { \frac{ 7 }{ 6 } }y - 2 = - { \frac{ 4 }{ 3 } }x+ { \frac{ 2 }{ 7 } }y + { \frac{ 3 }{ 5 } }} { . }

}
{} {}