Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Oma Müller hat
\mathl{13581}{} Kekse gebacken, die ihr Enkel Mustafa auf der Haseigelschule unter den insgesamt $187$ Schülern und Schülerinnen gerecht verteilen soll, den Rest bekommt Frau Maier-Sengupta. Wie viele Kekse bekommt jedes Kind und wie viele Kekse bekommt Frau Maier-Sengupta?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{123456789}{} bei Division durch $7$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{123456789}{} bei Division durch $8$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euclidean_division_example.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Euclidean_division_example.svg } {} {Dcoetzee} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man eine Punktmenge in Blöcke konfigurieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{n,d}{} natürliche Zahlen mit
\mathl{d \geq 1}{.} Zeige, dass $d$ genau dann ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $n$ ist, wenn bei der
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
von $n$ durch $d$ der Rest gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{q,d,s \in \N}{} mit
\mathl{d \geq 1}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{qd+s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{100}{} bei Division durch $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{3 708 175}{} bei Division durch $1,10,100$,$1000,10000,100000,1000000,100000000$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {}
die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von
\mathl{a+b}{} bei Division durch $d$ gleich dem Rest von
\mathl{r+s}{} bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.
}
{} {}
Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.9 und Beispiel 11.4.
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $3$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $4$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{d \geq 2}{} eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $d$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im $d$-System?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathbed {a,d \in \N} {}
{d \geq 1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$
\zusatzklammer {also \mathlk{a^0,a^1,a^2, \ldots}{}} {} {}
schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ < }{ j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass sich die Reste von
\mathl{a^i,a^{i+1},a^{i+2} , \ldots ,a^{j-2}, a^{j-1}}{} bei den folgenden Potenzen periodisch
\zusatzklammer {oder \anfuehrung{zyklisch}{}} {} {}
wiederholen
\zusatzklammer {insbesondere besitzen also
\mathl{a^i}{} und $a^j$ den gleichen Rest} {} {.}
Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anfangen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {a} {und} {d} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
$n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich
\mathl{0,2,4,6}{} oder $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von $10^k$ \definitionsverweis {geteilt}{}{} wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens $k$ Nullen endet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $8137$ Einer,
\mathl{498}{} Zehner,
\mathl{25}{} Hunderter und $3$ Tausender. Der Besitzer geht zur Wechselbank, um den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine einzutauschen. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler, u.s.w. Zeige, dass für jeden Betrag die minimale Darstellung mit diesen Scheinen eindeutig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz
\mathdisp {1001^n} { , }
die nicht palindromisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
\mathdisp {11,\, 111,\, 1111,\, 11111,\, 111111} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte im Zehnersystem die Zahl
\mathdisp {473} { . }
Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl
\mathl{300}{} die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {5E6BB} { . }
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen
sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ... \aufzaehlungdrei{Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus. }{Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus. }{Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {{{|}} {{|}}{{|}} {{|}} {{|}}{{|}}{{|}} {{|}}{{|}} {{|}} {{|}}{{|}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede mögliche Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ 2,3, \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zifferndarstellung. Ab welchem $g$ ist die Zifferndarstellung einstellig?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es für jede natürliche Zahl $n$ nur endlich viele Basen $g=2,3, \ldots$ gibt, für die die Zifferndarstellung von $n$ nicht einstellig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. $5$ Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, $3$ Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, $4$ Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.
\aufzaehlungdrei{Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt
\zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {}
\mathl{67}{} Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
}{Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt
\mathl{2114}{} Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
}{Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $5$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass es unendlich viele \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} gibt, die modulo $4$ \zusatzklammer {also bei Division durch $4$} {} {} den Rest $3$ besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ sei
\mathl{\psi(n)}{} gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von $n$ durch die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{1,2 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auftreten.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathl{\psi(n)}{} für die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1,2 , \ldots , 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(n)
}
{ \geq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+1+2)}
{
Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $7906$ Einer,
\mathl{623}{} Zehner,
\mathl{39}{} Hunderter und $4$ Tausender. Der Besitzer geht mit dem Betrag zur Wechselbank, um ihn umzutauschen.
\aufzaehlungdrei{Zuerst tauscht er den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine um. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
}{Jetzt fällt ihm ein, dass er für morgen auch Wechselgeld braucht, und zwar möchte er mindestens $100$ Einer und mindestens zehn Zehner haben. Ansonsten möchte er so wenig Scheine wie möglich haben. Wie viele Scheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
}{Jetzt kommt er auf die Idee, dass er morgen lieber Urlaub auf der Insel Magma machen möchte. Dort ist die Währung der Gulden, der zum Taler im Verhältnis $1:1$ getauscht wird. Auf Magma gibt es Scheine der Größe $1$ Gulden, $5$ Gulden, $25$ Gulden, $125$ Gulden, $625$ Gulden,
\mathl{3125}{} Gulden. Er möchte so wenig Scheine wie möglich mit sich rumtragen. Wie viele Guldenscheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl
\mathl{626}{} die Ziffernentwicklung im Fünfersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die im Vierersystem gegebene Zahl
\mathl{321002}{} die Ziffernentwicklung im Zehnersystem.
}
{} {}