Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Definitionsabfrage
Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
Zu Mengen und heißt
der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.
Zu zwei Mengen und heißt
die Vereinigung der beiden Mengen.
Zu Mengen nennt man
die Differenzmenge „ ohne “.
Zu einer Teilmenge in einer Menge heißt
das Komplement von (in ).
Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
Zu einer Implikation heißt die Implikation die zugehörige Kontraposition.
Es seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit
gibt.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Es seien und Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
Es sei eine Menge. Dann heißt die Abbildung
die also jedes Element auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf . Sie wird mit oder bezeichnet.
Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .
Es seien und Mengen und es sei ein Element. Dann heißt die Abbildung
die also jedes Element auf abbildet, die konstante Abbildung zum Wert .
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung
heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.
- Das Element ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
- Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
- Für jede Teilmenge
gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
- ,
- mit jedem Element
gelten, so ist .
Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann nennt man
den Graphen der Abbildung .
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.
Die Summe zweier natürlicher Zahlen und ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.
Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.
Zu einer natürlichen Zahl und einer natürlichen Zahl nennt man die -fache Multiplikation von mit sich selbst
( Faktoren) die -te Potenz von . Sie wird mit bezeichnet.
Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.
Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben
wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.
Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
Zu einer nichtleeren Teilmenge heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
Für natürliche Zahlen
ist diejenige natürliche Zahl für die
gilt. Sie heißt die Differenz zwischen und .
Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
- Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
- Es gilt das Distributivgesetz, also
für alle
.
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit
bezeichnet.
Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Es seien natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .
Es seien natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.
Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
heißt die Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.
Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.
Unter dem Nachfolger einer ganzen Zahl versteht man die Zahl
Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl versteht man die Abbildung , die durch
gegeben ist.
Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist
Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist
Unter dem Betrag einer ganzen Zahl versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl , falls negativ (und positiv) ist.
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Distributivgesetz: Für alle gilt und .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.
Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation . Wir sagen
wenn es eine natürliche Zahl mit
gibt.
Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus folgt für beliebige ,
- Aus und folgt für beliebige ,
erfüllt.
Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
Es seien zwei ganze Zahlen (mit ) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest
rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.
Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.
Zu einer ganzen Zahl und einer Primzahl nennt man den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den -Exponenten von . Er wird mit bezeichnet.
Wenn zwischen zwei Größen und (die in , in , in , in oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form
mit einer festen Zahl besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass proportional zu ist. Die Zahl , die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.
Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.
Ein Bruch heißt gekürzt, wenn und teilerfremd sind.
Eine rationale Zahl der Form , , heißt Stammbruch.
Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch
definiert.
Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch
definiert.
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
- Distributivgesetz: Für alle gilt .
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.
Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus folgt (für beliebige ),
- Aus und folgt (für beliebige ),
erfüllt.
In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.
Zu Zahlen in einem angeordneten Körper nennt man
das arithmetische Mittel der Zahlen.
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
gibt.
Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch
definiert.
Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form
mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und . Der Wert eines gemischten Bruches ist
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung
heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.
Es sei ein Körper. Eine Funktion der Form
mit einem festen heißt lineare Funktion.
Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.
Es sei ein Dezimalbruch
mit , , und gegeben, und es sei
die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man
die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
Ein Prozent ist .
Ein Promille ist .
Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .
Es sei eine Menge. Eine Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form
mit und
heißt Dezimalbruchfolge.
Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.