Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Definitionsliste


Definition:Leere Menge

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Teilmenge

Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.



Definition:Durchschnitt

Zu Mengen und heißt

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.



Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen und heißt

die Vereinigung der beiden Mengen.



Definition:Differenzmenge

Zu Mengen nennt man

die Differenzmenge ohne “.



Definition:Komplement

Zu einer Teilmenge in einer Menge heißt

das Komplement von (in ).



Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.



Definition:Kontraposition

Zu einer Implikation heißt die Implikation die zugehörige Kontraposition.



Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:Surjektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.



Definition:Injektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.



Definition:Bijektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



Definition:Endliche Menge

Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

gibt.



Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .



Definition:Identische Abbildung

Es sei eine Menge. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf . Sie wird mit oder bezeichnet.



Definition:Umkehrabbildung

Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



Definition:Konstante Abbildung

Es seien und Mengen und es sei ein Element. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf abbildet, die konstante Abbildung zum Wert .



Definition:Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

  1. Das Element ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
  2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
  3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
      • ,
      • mit jedem Element
      ist auch ,

    gelten, so ist .



    Definition:Produktmenge

    Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

    die Produktmenge der beiden Mengen.



    Definition:Graph einer Abbildung

    Es seien und Mengen und es sei

    eine Abbildung. Dann nennt man

    den Graphen der Abbildung .



    Definition:Verknüpfung

    Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



    Definition:Assoziative Verknüpfung

    Eine Verknüpfung

    auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.



    Definition:Kommutative Verknüpfung

    Eine Verknüpfung

    auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.



    Definition:Neutrales Element

    Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.



    Definition:Addition

    Die Summe zweier natürlicher Zahlen und ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.



    Definition:Multiplikation

    Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.



    Definition:Potenz

    Zu einer natürlichen Zahl und einer natürlichen Zahl nennt man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

    ( Faktoren) die -te Potenz von . Sie wird mit bezeichnet.



    Definition:Quadratzahl

    Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.



    Definition:Relation auf einer Menge

    Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



    Definition:Ordnungsrelation

    Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .


    Definition:Lineare Ordnung

    Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.



    Definition:Größergleichrelation auf N

    Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben

    wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.



    Definition:Maximum

    Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.



    Definition:Minimum

    Zu einer nichtleeren Teilmenge heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.



    Definition:Differenz natürlicher Zahlen

    Für natürliche Zahlen

    ist diejenige natürliche Zahl für die

    gilt. Sie heißt die Differenz zwischen und .



    Definition:Kommutativer Halbring

    Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

    1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
    2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
    3. Es gilt das Distributivgesetz, also

      für alle

      .


    Definition:Potenzmenge

    Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Teilen ()

    Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



    Definition:Gemeinsamer Teiler

    Es seien natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .



    Definition:Größter gemeinsamer Teiler

    Es seien natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.



    Definition:Teilerfremd

    Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.



    Definition:Gemeinsames Vielfaches

    Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

    heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.



    Definition:Kleinstes gemeinsaes Vielfaches

    Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

    heißt die Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.



    Definition:Primzahl

    Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.



    Definition:Primzahlzwilling

    Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.



    Definition:Fakultät

    Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

    die Fakultät von (sprich Fakultät).



    Definition:Binomialkoeffizient

    Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

    den Binomialkoeffizienten über “.



    Definition:Ganze Zahlen

    Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.



    Definition:Nachfolgerabbildung ()

    Unter dem Nachfolger einer ganzen Zahl versteht man die Zahl



    Definition:Negation ()

    Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl versteht man die Abbildung , die durch

    gegeben ist.



    Definition:Addition ( )

    Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist



    Definition:Multiplikation ( )

    Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist



    Definition:Betrag

    Unter dem Betrag einer ganzen Zahl versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl , falls negativ (und positiv) ist.



    Definition:Ring

    Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
      2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .


    Definition:Kommutativer Ring

    Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.



    Definition:Gruppe

    Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

    heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
    2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
    3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


    Definition:Kommutative Gruppe

    Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



    Definition:Größergleichrelation auf

    Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation . Wir sagen

    wenn es eine natürliche Zahl mit

    gibt.



    Definition:Angeordneter Ring

    Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

    1. Aus folgt für beliebige ,
    2. Aus und folgt für beliebige ,

    erfüllt.



    Definition:Teilen (Z)

    Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



    Definition:Untergruppe

    Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit ist auch .


    Definition:Euklidische Restfolge

    Es seien zwei ganze Zahlen (mit ) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

    rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.



    Definition:Kommensurabel

    Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.



    Definition:p-Exponent

    Zu einer ganzen Zahl und einer Primzahl nennt man den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den -Exponenten von . Er wird mit bezeichnet.



    Definition:Proportional

    Wenn zwischen zwei Größen und (die in , in , in , in oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form

    mit einer festen Zahl besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass proportional zu ist. Die Zahl , die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.



    Definition:Rationale Zahl

    Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.



    Definition:Gekürzter Bruch

    Ein Bruch heißt gekürzt, wenn und teilerfremd sind.



    Definition:Stammbruch

    Eine rationale Zahl der Form , , heißt Stammbruch.



    Definition:Addition auf

    Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.



    Definition:Multiplikation auf

    Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.



    Definition:Körper (ausführlich)

    Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


    Definition:Körper

    Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.



    Definition:Anordnung auf den rationalen Zahlen

    Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.



    Definition:Angeordneter Körper

    Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

    1. Aus folgt (für beliebige ),
    2. Aus und folgt (für beliebige ),

    erfüllt.



    Definition:Betrag (angeordneter Körper)

    In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.



    Definition:Arithmetisches Mittel

    Zu Zahlen in einem angeordneten Körper nennt man

    das arithmetische Mittel der Zahlen.



    Definition:Archimedisch angeordnet

    Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

    gibt.



    Definition:Intervalle

    Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

      das abgeschlossene Intervall.

      das offene Intervall.

      das linksseitig offene Intervall.

      das rechtsseitig offene Intervall.



      Definition:Gaußklammer

      Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

      definiert.



      Definition:Gemischter Bruch

      Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

      mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und . Der Wert eines gemischten Bruches ist



      Definition:Wachsende Funktion

      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.



      Definition:Streng wachsende Funktion

      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.



      Definition:Fallende Funktion

      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.



      Definition:Streng fallende Funktion

      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.



      Definition:Lineare Funktion

      Es sei ein Körper. Eine Funktion der Form

      mit einem festen heißt lineare Funktion.



      Definition:Dezimalbruch

      Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.



      Definition:Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem

      Es sei ein Dezimalbruch

      mit , , und gegeben, und es sei

      die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man

      die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.



      Definition:Prozent

      Ein Prozent ist .



      Definition:Promille

      Ein Promille ist .



      Definition:(Ganzzahlige) Exponentialfunktion

      Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

      die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .



      Definition:Folge

      Es sei eine Menge. Eine Abbildung

      nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form

      geschrieben.



      Definition:Dezimalbruchfolge

      Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

      mit und

      heißt Dezimalbruchfolge.



      Definition:Konvergenz einer Folge

      Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

      Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

      gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

      Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.