Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex

\setcounter{section}{38}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf der Menge der quadratischen $n \times n$-Matrizen, bei der Matrizen $M$ und $N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} $E_1 , \ldots , E_k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Menge der Leute im Kurs. Bestimme für die folgenden, durch eine Eigenschaft festgelegten \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$, wer zu wem äquivalent ist. \aufzaehlungdrei{Hat im gleichen Monat Geburtstag. }{Hat das gleiche Zweitfach \zusatzklammer {neben Mathematik} {} {.} }{Wohnt in der gleichen Stadt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die folgende Menge, deren Elemente gewisse Zahlenmengen sind.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \{ \{2,5,7\},\, \{2,3,4\},\, \{2,5,7,8\},\, \{2,7\},\, \{4,10,14\},\, \{3\},\, \{8,9\},\, \{12,15,23\} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S,T }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \sim }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls \mathkor {} {S} {und} {T} {} die gleiche Anzahl an Elementen haben, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ gegeben ist. Welche Elemente sind zueinander äquivalent, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf der Menge der Tiere die Äquivalenzrelation, bei der zwei Tiere als \definitionsverweis {äquivalent}{}{} angesehen werden, wenn sie die gleiche Anzahl an Gliedmaßen besitzen. Welche der folgenden Tiere sind zueinander in diesem Sinne äquivalent?

Ein Elefant, eine Schlange, eine Forelle, ein Delphin, eine Blindschleiche, ein Schimpanse, ein Tausendfüßer, ein Wenigfüßer, ein Eichhörnchen, ein Erdferkel, eine Ameise, ein Raptor, ein Tetrapode, ein Mensch, ein Pinguin.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biological classification de.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Biological classification de.svg } {} {Pengo} {Commons} {} {}

In der Biologie werden die Lebewesen mittels verschiedener \zusatzklammer {mehr oder weniger feiner} {} {} Einteilungen klassifiziert. Wie nennt man die Rangstufen, zu denen der Mensch gehört? Man gebe für jede Rangstufe ein Lebewesen an, das sich bezüglich dieser Rangstufe vom Menschen unterscheidet, aber bezüglich der darüberliegenden Rangstufe mit dem Menschen übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir sagen, dass Tage zueinander äquivalent sind, wenn sie auf den gleichen Wochentag fallen. Welche der folgenden Tage sind zueinander äquivalent, welche nicht? \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {Der $11.11.1877$, }{Der $7.11.1877$, }{Der $14.11.1877$, }{Der $13.11.1877$, }{Der $30.10.1877$, } } {\itemfuenf {Der $2.12.1877$, }{Der $6.1.1878$, }{Der $20.11.1877$, }{Der $23.10.1877$, }{Der $6.12.1877$. } }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die zweielementige Menge
\mathl{M=\{a,b\}}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme alle \definitionsverweis {Relationen}{}{} auf $M$. }{Welche dieser Relationen sind \definitionsverweis {symmetrisch}{}{,} \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {transitiv}{}{?} }{Bei welchen Relationen handelt es sich um \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{?} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p}{} und
\mathl{q}{} zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht?
\mathdisp {p,\, q,\, p \wedge q,\, p \vee q,\, p \rightarrow q,\, p \rightarrow (q \rightarrow p),\, \neg p \vee q ,\, p \vee \neg p} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und sei \maabb {f} {M} {N } {} eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \sim} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 5 \text{ teilt } x-y} { . }
Welche Zahlen sind bei dieser Relation äquivalent zueinander?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModernChartresStyleLabyrinth.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { ModernChartresStyleLabyrinth.svg } {} {} {Commons} {} {}

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung \zusatzklammer {also ohne Sprünge} {} {} von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M=\Z \times \Z}{.} Wir fixieren wie in Beispiel 38.15 die Sprünge
\mathdisp {\pm (2,0) \text{ und } \pm (3,3)} { , }
und sagen, dass zwei Punkte
\mathl{P=(a,b),\, Q=(c,d) \in M}{} äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Punkte
\mathl{P=(4,-3)}{} und
\mathl{P=(3,6)}{} zueinander äquivalent sind. } {Zeige, dass die Punkte
\mathl{P=(4,-3)}{} und
\mathl{P=(3,7)}{} nicht zueinander äquivalent sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Äquatorflöhe leben auf den vollen Metern eines $40 000$ Kilometer langen kreisrunden Bandes. Sie verfügen nur über einen Sprung, der sie sieben Meter nach vorne oder nach hinten bringt \zusatzklammer {und der beliebig oft wiederholt werden kann} {} {.} Können sich alle Flöhe begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die rationalen Zahlen
\mathdisp {{ \frac{ 7 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } , \, 3, \, { \frac{ 5 }{ 2 } }, \, { \frac{ 4 }{ 3 } } , \,4, \, { \frac{ 3 }{ 4 } }, \, { \frac{ 1 }{ 3 } } , \,{ \frac{ 3 }{ 2 } }, \, { \frac{ 5 }{ 4 } }, \, - { \frac{ 1 }{ 3 } }, \, { \frac{ 4 }{ 5 } }} { . }
\aufzaehlungzwei {Welche dieser Zahlen sind unter der Gaußklammeräquivalenzrelation \zusatzklammer {\anfuehrung{Vorkommaäquivalenzrelation}{,} siehe Beispiel 38.12} {} {} zueinander äquivalent? } {Welche dieser Zahlen sind unter der Bruchanteiläquivalenzrelation \zusatzklammer {\anfuehrung{Nachkommaäquivalenzrelation}{}} {} {} zueinander äquivalent? }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf dem $K^n$, die durch
\mathdisp {v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U} { }
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Wir betrachten die folgende Relation auf $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$.
\mathdisp {M \sim N, \text{ falls es eine invertierbare Matrix } B \text{ gibt mit } M=BNB^{-1}} { . }
Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mathl{R:=\bigcap_{i \in I} R_i}{} wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf der Menge der natürlichen Zahlen $\N$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Einerziffer in der \definitionsverweis {Zifferndarstellung}{}{} zur Basis $7$ von \mathkor {} {a} {und} {b} {} ist gleich. }{Die Differenz
\mathl{a-b}{} ist ein Vielfaches der $7$. }{\mathkor {} {a} {und} {b} {} haben bei der Division durch $7$ den gleichen Rest. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ \defeq} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \sim }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mathl{A \triangle B}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} Mengen und $\sim_1$ sei eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M_1$ und $\sim_2$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_2$. Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} $M_1 \times M_2$, die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ und } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definiert ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf $M_1 \times M_2$ die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ oder } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und sei \maabb {f} {M} {N } {} eine Abbildung. Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $N$. Zeige, dass durch $x \equiv x'$, falls
\mathl{f(x) \sim f(x')}{} gilt, eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.

}
{} {}