Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex

\setcounter{section}{46}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen
\mathl{\Q^\N}{} die Teilmenge der Nullfolgen kein \definitionsverweis {Ideal}{}{} bildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge aller Folgen in $K$ \zusatzklammer {mit gliedweiser Addition und Multiplikation} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

Dieser Folgenring wird mit $K^\N$ bezeichnet.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge aller Folgen in $K$ \zusatzklammer {mit gliedweiser Addition und Multiplikation} {} {} kein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in $K$ \zusatzklammer {mit gliedweiser Addition und Multiplikation} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cau\-chy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir nennen zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} aus $\Q$ \stichwort {Cauchy-äquivalent} {,} wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_m } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungfuenf{Die Cauchy-Äquivalenz ist eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} und \definitionsverweis {transitive}{}{} Relation auf dem Folgenring
\mathl{\Q^\N}{.} }{Die Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ ist eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist. }{Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation. }{Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist. }{Wenn
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} zu
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} Cauchy-äquivalent ist, so ist auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K^\N}{} der zugehörige Folgenring. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_k }
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid x_k = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $K^\N$ ist. }{Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation? }{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {K \longrightarrow K^\N \longrightarrow K^\N/I_k} { }
\definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K^\N}{} der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } }
{ \sim} { { \left( y_n \right) }_{n \in \N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem \definitionsverweis {Ideal}{}{} her?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\Q$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\R$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{\Q^\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring, der aus allen in $\Q$ konvergenten, rationalen Folgen besteht. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ bildet. }{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {R} {\Q } {} gibt. }{Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus \maabbdisp {\psi} {R/N} {\Q } {} gibt. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{ Cauchy-Folge in } \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\psi} {D} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {D/N} { \R } {} gibt. }{Zeige, dass die Gesamtabbildung
\mathdisp {\R \longrightarrow D \stackrel{\psi}{ \longrightarrow } \R} { }
bijektiv ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Q^\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung \maabbdisp {} {\Q} {R } {,} die einer rationalen Zahl ihre \definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{} zuordnet, ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {q} {\Z} { \Z/(n) } {} und \maabbdisp {q} {C} {C/N=\R } {,} wobei $C$ den Ring der rationalen \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils \zusatzklammer {über kanonische Repräsentanten} {} {} eine natürliche Abbildung $s$ in die andere Richtung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q \circ s }
{ =} { \operatorname{Id} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei $M$ die Menge der wachsenden Folgen in $K_{\geq 0}$. Zeige, dass $M$ mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} rationale \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{.} Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R }
{ = }{ C/N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Ordnungsbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } ] }
{ \geq} { [ { \left( y_n \right) }_{n \in \N } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein $n_0 \in \N$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq }{y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} rationale \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{.} Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R }
{ = }{ C/N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Ordnungsbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } ] }
{ \geq} { [ { \left( y_n \right) }_{n \in \N } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es unendlich viele $n \in \N$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq }{y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Folge
\mathl{\sqrt{ { \frac{ 1 }{ n } } }}{} in $\R$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
\mathl{x_{ni}, i \in \N}{,} mit dem Startwert $x_{n0}= 1$ repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder
\mathl{y_1,y_2,y_3,y_4}{} im Sinne von Satz 46.9.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{u_n}{} die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{5}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 }
{ = }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_2 }
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_3 }
{ = }{ { \frac{ 47 }{ 21 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{, ...} Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n }
{ \defeq} { \sqrt{u_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zu jedem $n$ sei
\mathl{x_{ni},\, i \in \N}{,} die Heron-Folge zur Berechnung von $z_n= \sqrt{u_n}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{n0} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Diagonalfolgenglieder
\mathl{y_1,y_2,y_3,y_4}{} im Sinne von Satz 46.9. Zeige, dass $z_n$ eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} von reellen Zahlen. Zeige, dass man die $z_n$ durch rationale Cauchy-Folgen
\mathl{x_{ni},\, i \in \N}{,} derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n} }
{ \defeq} { x_{nn} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {siehe Satz 46.9} {} {} \aufzaehlungdrei{in $\R$ nicht konvergiert, }{in $\R$ konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von $z_n$, }{in $\R$ konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von $z_n$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Menge aller reellen konvergenten Folgen und \maabbeledisp {\Psi} {M} {\R } {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } } { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } } {,} die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist $\Psi$ injektiv? Ist $\Psi$ surjektiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für jedes
\mathl{n \in \N}{} den \definitionsverweis {Kern}{}{} des Potenzierens \maabbeledisp {} {\R^\times} { \R^\times} {z} {z^n } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gibt es \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} {(\R,+,0)} {(\R,+,0) } {,} die nicht $\R$-linear sind?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\R$ nach $\Q$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {archimedisch angeordnete Körper}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in K}{} eine in $K$ \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{.} Zeige, dass diese Folge auch in $L$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die in einem größeren angeordneten Körper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} unendlich viele \definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele \definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{} enthält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$. Zeige, dass jede \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} davon das gleiche Element im \definitionsverweis {Cauchy-Folgen-Modell}{}{} definiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} bei dem eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt. \aufzaehlungdrei{Für $x \in K$ ist entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$. }{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$. }{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$. } Zeige, dass durch die Festlegung
\mathdisp {x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} entsteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {beschränkten Folgen}{}{} in $K$ \zusatzklammer {mit gliedweiser Addition und Multiplikation} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n }
{ = }{ \sqrt{ { \frac{ n+1 }{ n } } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $\R$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
\mathl{x_{ni}, i \in \N_+}{,} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n0} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder
\mathl{y_1,y_2,y_3,y_4}{} im Sinne von Satz 46.9.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K^\N}{} der zugehörige Folgenring. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{K^\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge aller Folgen über $K$, bei denen nur endlich viele Glieder von $0$ verschieden sind. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $I$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $K^\N$ ist. } {Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K^\N/I}{} kein Körper ist. }

}
{} {}