Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Halbiere die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?
\mathdisp {{ \frac{ 3 }{ 6 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 6 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 6 } } \cdot 15 , \, 2^{-3} \cdot 7 \cdot 11, \, 2^{-3} \cdot 7 \cdot 11^ {-1}, \, \sum_{n = 1}^6 { \frac{ 1 }{ n } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathl{0{,}5 \cdot 0{,}2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {0{,}000000000000000007 \cdot 0{,}0000000000000006} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathl{1{,}0205 \cdot 0{,}0073}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 84 } }}{,} das ein
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
von zwei Dezimalbrü\-chen
\mathl{a_1}{} und $a_2$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{,}
die zugleich
\definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{}
und größer als
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{} sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
} {Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 1000 } }} {und} {1} {}
\zusatzklammer {einschließlich} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 3 \cdot 10^{-1}+6 \cdot 10^{-2} +7 \cdot 10^{-3} \right) } \cdot { \left( 5 \cdot 10^{2}+9 \cdot 10^{1} +5 \cdot 10^{0} +2 \cdot 10^{-1}+4 \cdot 10^{-3} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {6{,}9 \cdot 10^{-4} \cdot 7{,}3 \cdot 10^{-9}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {4{,}3 \cdot 10^{-6} + 6{,}4 \cdot 10^{-5}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {0{,}00000029 \cdot 0{,}00000000037} { . }
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein ist in einem Geschäft und interessiert sich für eine blaugrün-karierte Bluse. Sie fragt den Verkäufer nach dem Preis und dieser sagt \anfuehrung{ich glaube, die kostet $67,40$, ich muss aber noch mal kurz nachschauen}{.} Als er zurückkommt, sagt er \anfuehrung{das war fast genau richtig, ich hab mich nur bei einer Ziffer vertan, der genaue Preis ist
}{}
\mathdisp {67,43 \text{ (Variante A)}} { , }
\mathdisp {367,40 \text{ (Variante B)}} { . }
Beurteile den Fehler in den beiden Varianten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die Zahl
\mathdisp {\sum_{n = 1}^{10} { \frac{ 1 }{ n } }} { . }
ein Dezimalbruch?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form
\mathl{2^{i} \cdot 5^{j}}{} mit
\mathl{i,j \in \N}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung $\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sum_{i = m}^n a_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ =} { \sum_{i = m}^n a_i 10^{-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abbildet. Bei $\varphi(z)$ bezieht sich also die Ziffer $a_i$ nicht mehr auf $10^{i}$, sondern auf $10^{-i}$.
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathl{\varphi(514,73)}{.}
}{Welche Dezimalbrüche werden unter $\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
}{Gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(z+w)
}
{ =} { \varphi(z) + \varphi(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}{Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(10^k \cdot z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10^k } } \cdot \varphi(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Dezimalbrüche $z$ und ganze Zahlen $k$ gilt.
}{Ist $\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine rationale Zahl
\mathl{z\neq 0}{} sei in der Form
\mathdisp {\pm \prod_{p \text{ Primzahl} } p^{\nu_p(z)}} { }
gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im $7$er-System
\mathdisp {0{,}026 \cdot 3{,}605} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im $5$er-System
\mathdisp {0{,}0230241 \cdot 32{,}1102 + 4{,}301 \cdot 2{,}133} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{a \neq b}{} Basen zu einem Stellenwertsystem
\zusatzklammer {$a$-er System und $b$-er System} {} {.}
Es sei $z$ eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Unterring}{,} wenn $0,1,-1 \in S$ ist und wenn $S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_T
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{3 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{2,5 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0{,}428571428
}
{ <} { { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ <} {0{,}428571429
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 26.10
durch Multiplikation der Abschätzungen mit $7$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 3 } }}{} durch einen
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
mit einem Fehler von maximal $10^{-4}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 6 } }}{} durch einen
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
mit einem Fehler von maximal $10^{-2}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für jedes $k \in \N_+$ der Dezimalbruch
\mathdisp {\sum_{i = 1}^k 3 \cdot 10^{-i}} { }
die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} mit einem Fehler von maximal $10^{-k}$ approximiert \zusatzklammer {von unten} {} {}.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.
\mathdisp {7{,}874802, \, { \frac{ 4 }{ 9 } } ,\, { \frac{ 3 }{ 13 } } ,\, 4 \cdot 5^{-1} \cdot 6^{-1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Halbiere den Dezimalbruch
\mathl{297{,}0752209}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches
\mathdisp {760982393473{,}90354771045729} { }
die dritte Nachkommaziffer.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches
\mathdisp {7601{,}4550738} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass sich bei der Halbierung \zusatzklammer {und bei der Fünftelung} {} {} eines Dezimalbruches die Anzahl der Nachkommastellen um höchstens $1$ erhöht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Schüler sollen die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der $5$, also $5^1,5^2,5^3, ...$ auszurechnen. Er sagt: \anfuehrung{Hast du wieder nicht aufgepasst}{?} Sie sagt: \anfuehrung{Doch, das ist doch das gleiche}{.} Wer hat recht?
}
{} {}
Man nennt einen Algorithmus \stichwort {parallelisierbar} {,} wenn man ihn in einfachere Teilalgorithmen aufspalten kann, die in dem Sinne voneinander unabhängig sind, dass sie nicht die Ergebnisse voneinander benötigen \zusatzklammer {es entstehen also keine Wartezeiten} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Die Klasse soll den fünften Teil einer Zahl ausrechnen, die im Zehnersystem durch $27$ Ziffern gegeben ist. In der Klasse gibt es $28$ Kinder. Wie teilt Gabi Hochster die Aufgabe auf?
Inwiefern ist die Halbierung \zusatzklammer {Fünftelung} {} {} eines Dezimalbruches parallelisierbar?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine
\mathl{3 \text{ plus}}{}
\zusatzklammer {${=2{,}7}$} {} {,}
eine $1\text{ minus}$ \zusatzklammer {${=1{,}3}$} {} {,}
eine $3$ und eine $2\text{ plus}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne
\mathl{401{,}0013507 \cdot 0{,}002056}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 7 } }}{} durch einen
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
mit einem Fehler von maximal $10^{-6}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Halbiere den Dezimalbruch
\mathl{30437{,}09134508902}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches
\mathdisp {876059301193674{,}2903347310459901} { }
die fünfte Nachkommaziffer.
}
{} {}