Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen Bruch
\mathl{{ \frac{ a }{ p } }}{} mit einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ derart, dass bei der
\definitionsverweis {schriftlichen Division}{}{}
eine Periodenlänge $\ell$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \leq }{ \ell
}
{ < }{p-1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auftritt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Führe den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{1:p}{} für jede
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p<20$ durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die schriftlichen Divisionen
\mathdisp {1:7,\, 2:7,\, 3:7,\, 4:7,\, 5:7,\, 6:7} { }
durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{5: 7}{} und zu
\mathl{15:21}{} durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ derart, dass sich beim
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{1:p}{} eine von $0$ verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\mathl{1000}{.} Nachkommastelle bei der schriftlichen Division
\mathl{1:7}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Führe sämtliche Divisionen mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10 \cdot k
}
{ =} { q \cdot 17 + r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ =} { 1 , \ldots , 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus.
}{Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 17 } }}{.}
}{Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 11 }{ 17 } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne $1$ durch $37$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne $1$ durch $41$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne $1$ durch $81$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne $1$ durch $101$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige durch Induktion nach $i$, dass man die Restfolgenglieder
\mathl{r_{-i}}{} im
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
direkt durch die Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10^{i} a
}
{ =} { xb +r_{-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige, dass beim Divisionsalgorithmus zu
\mathdisp {a:b,\, 10^ka :b,\, a:10^nb} { }
die gleiche Ziffernfolge auftritt, allerdings mit veränderter Indizierung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $b$ eine zu $10$
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge $\ell$ beim
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{1:b}{} gleich der kleinsten positiven Zahl $k$ ist, für die $10^k$ bei der Division durch $b$ den Rest $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind $150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? \zusatzklammer {Rechne mit Monat = $30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{} seien
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und $b$ sei teilerfremd zu $10$. Zeige, dass dann sämtliche Reste $r_{-i}$ im
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{a:b}{} teilerfremd zu $b$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe die schriftliche Division
\mathdisp {53,4 : 0,07} { }
durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{999 \ldots 999
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division
\mathl{1:z}{.}
}
{} {}
In
Satz 47.7
werden wir zeigen, dass die rationalen Zahlen diejenigen reellen Zahlen sind, für die die Dezimalentwicklung periodisch ist. Die folgende Aufgabe bietet eine algorithmische Vorwegnahme dieses Satzes.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede endliche Ziffernfolge
\mathl{z_1z_2 \ldots z_\ell}{} als Periode bei einer schriftlichen Division auftritt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe im $3$-er System den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{121:102}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe im $5$-er System den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{1:3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe im $7$-er System den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{6563203 :1000}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck
\mathdisp {0,101001000100001 ...} { }
\zusatzklammer {die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der erkennbaren Regelmäßigkeit unendlich weiter fortgesetzt werden} {} {}
zuordnen? Gibt es dafür eine Interpretation als rationale Zahl, als reelle Zahl, als Folge?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck
\mathdisp {... 1212121212121212121212121212121212121212,0} { }
zuordnen
\zusatzklammer {die Periode $12$ wiederholt sich also unendlich oft nach links} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wo tritt in der Mathematik \zusatzklammer {und in anderen Gebieten} {} {} Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei \anfuehrung{diskret}{} oder \anfuehrung{kontinuierlich}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien die
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
die im
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{a:b}{} berechneten Ziffern. Ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{-i}
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{n-i} \right) } 10^{-n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stets die beste Approximation von
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{} unter allen ganzzahligen Vielfachen von
\mathl{10^{-n}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{a,b}{} natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
und
\mathbed {r_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
die im
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach $n$, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { b { \left( \sum_{i = 0 }^n z_{-i} 10^{-i} \right) } + r_{-n} 10^{-n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die ersten acht Glieder der
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne mit dem
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
zu
\mathl{2:13}{} die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge der Stammbrüche
\mathbed {{ \frac{ 1 }{ n } }} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
gegen $0$
\zusatzklammer {in $\Q$} {} {}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} {x^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
die Ziffernfolge, die sich beim
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{a:b}{} ergibt. Wann ist diese
\definitionsverweis {konvergent}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn es für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
durch Umwandlung der Quantoren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
entsteht
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
}{Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{n}}{,}
\mathl{n \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
entsteht
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
}{Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{n}}{,}
\mathl{n \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte
\zusatzklammer {Regel 1} {} {.}
Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte
\zusatzklammer {Regel 2} {} {.}
Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {}
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungsechs{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird
\zusatzklammer {also von $I_2$, nachdem einmal die Regel $1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde} {} {.}
}{Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
}{Bestimme ein Intervall der Form $[ { \frac{ a }{ 100 } } , { \frac{ a }{ 100 } }+ { \frac{ 1 }{ 100 } }]$ mit
\mathl{a \in \N}{,} das ganz in $I_2$ enthalten ist.
}{Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{,}
\mathl{k \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}{Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl $c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge $1$ besitzt?
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne $1$ durch $271$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Führe die schriftliche Division
\mathdisp {162,017 : 0,23} { }
durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe im $3$-er System den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{2012:112}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n^2}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Folge
\mathbed {(-1)^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
nicht
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}