Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex
\setcounter{section}{36}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Stre\-ckung, Verschiebung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 2 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 17 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 10^{-4} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & 1 & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
derart, dass es $n \times n$-Matrizen
\mathl{A,B}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ = }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \circ M
}
{ = }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass $M$
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M$ und $N$
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{M \circ N}{}
invertierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (M \circ N)^ {-1}
}
{ =} { N^{-1} \circ M^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Zeige, dass die Menge $\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }$ der \definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei $n \geq 2$ nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn es eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ = }{E_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man eine Scherungsmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij}(a)
}
{ =} {E_{ n } + a B_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathl{M\circ N \circ L}{} schreiben kann, wobei $M$ und $L$
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form
$A_{ij}(1)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \\2 & 7 & -6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & 7 & -4 \\9 & 17 & -2 \end{pmatrix}} { }
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {linearen Gleichungssysteme}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\9 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}} { }
simultan.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 2 \\2 & -3 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 1 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse die
\definitionsverweis {linearen Gleichungssysteme}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\11 \end{pmatrix}} { , }
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_4 \\y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_5 \\y_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\-13 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_6 \\y_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\-1 \end{pmatrix}} { }
simultan durch Invertieren der Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe das
Invertierungsverfahren
für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.
}
{} {}