Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex
\setcounter{section}{49}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Polynom
\mathdisp {( 3X^2-5X+4) \cdot ( X^3-6 X^2+1 ) - (4X^3+2X^2-2X+3) \cdot (-2X^2-5X)} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge $x$ voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet $10$ Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet $100$ Euro, der Überlaufrand kostet $30$ Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet $200$ Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Produkt
\mathdisp {( X^6+X^3+X^2+X+1) \cdot (X^5+ X^4+ X^2+1 )} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Z/(2)[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Produkt
\mathdisp {( 2X^3+4X+5) \cdot ( X^4+5 X^2+6 )} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Z/(7)[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{n}-1
}
{ =} {(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3} + \cdots + X^2 + X +1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid \text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt
\aufzaehlungdrei{Entweder ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F+G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \cdot G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^2 +bx +c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$ maximal zwei Lösungen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3x^2-6x+2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4 x^2+ 5 x+2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die reelle quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{7x^2 +5x - 4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch quadratisches Ergänzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^4+bx^2+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \stichwort {biquadratische Gleichung} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die biquadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 +7x^2-11
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Z/(6)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eliminiere im kubischen Polynom
\mathdisp {X^3 +6X^2-5X-2} { }
den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als
\mathdisp {(X+d)^3+e(X+d) +f} { }
mit geeigneten
\mathl{d,e,f}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4+ 3 x^3-5x^2+2x-7
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^4 + b_2y^2 + b_1y +b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.
}
{} {}
Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }
}
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \sim }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es ein
\mathl{d \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }
}
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \sim }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es ein
\mathl{c \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (x)
}
{ =} {g (x+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in K}{} gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }
}
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \sim }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es ein
\mathl{c,d \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (x)
}
{ =} {g (x+c) +d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in K}{} gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper $K$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2+pX+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist und wenn $r,s \in \R$ Zahlen sind mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r+s
}
{ =} {-p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rs
}
{ =} {q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so sind
\mathkor {} {r} {und} {s} {}
die Lösungen der Gleichung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -7x+10
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -101 x+100
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{d \in \R}{.} Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 - (d+1)x+ d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne das Polynom
\mathdisp {( 3X^4+4X+5) \cdot ( 2X^4+7X^3 +10 X^2+6X+8 ) + 3X^2 \cdot (4X^2+5)} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Z/(11)[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Löse die reelle quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 4 } } x^2 + { \frac{ 2 }{ 7 } } x - { \frac{ 4 }{ 5 } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch quadratisches Ergänzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 x^2+ 3 x+ 3
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(5)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-7x^2+3x+4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^3 +b_1 y + b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -12 x+27
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen \zusatzklammer {unabhängig vom Polynom} {} {} beschränkt ist.
}
{} {}