Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der ebenen Drehung um $291$ Grad.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte \stichwort {Kleinsche Vierergruppe} {.} Dies ist einfach die Produktgruppe $\Z/(2) \times \Z/(2)$.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_2$ isomorph zur \definitionsverweis {Kleinschen Vierergruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_3$ isomorph zur \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_3$ ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Laukien sailkapena.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Laukien sailkapena.svg } {} {Alexgabi} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{V=(P_1,P_2,P_3,P_4)}{} ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen eigentlichen Symmetriegruppen von $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{V=(P_1,P_2,P_3,P_4)}{} ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen Symmetriegruppen \zusatzklammer {die auch die uneigentlichen Symmetrien beinhalten} {} {} von $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In die Erdkugel soll ein Würfel eingeschrieben werden derart, dass Osnabrück ein Eckpunkt ist und sich ein weiterer benachbarter Eckpunkt in südlicher Richtung von Osnabrück befindet. Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte dieses Würfels. Wie viele Eckpunkte befinden sich im Meer?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und $n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht \anfuehrung{aus physikalischen Gründen}{} eine \anfuehrung{gleichverteilte}{} Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen $P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die $P$ in $Q$ überführt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A_n$ eine \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Kleinsche Vierergruppe}{}{} zu einer \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_4$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der \definitionsverweis {Würfelgruppe}{}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,} ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Wirkung der \definitionsverweis {Tetraedergruppe}{}{} auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen der Tetraedergruppe und der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_4$ ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \operatorname{O}_{ 2 } \! }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \not \subseteq }{ \operatorname{SO}_{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen surjektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {G} {\Z/(2) } {} gibt, dessen \definitionsverweis {Kern}{}{} eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} ist. Schließe, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $G$ gerade ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $51$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Siebteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein regelmäßiges $n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_n$. Beschreibe $D_n$ als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche $n$ handelt es sich um eine Untergruppe der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{?}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x } }
{ <} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $H$ eine (additive) \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{{\Z} a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabe
{}
{

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Ku\-geloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen \zusatzklammer {wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben} {} {,} und welche Endposition \zusatzklammer {?} {} {} sie einnehmen.

}
{} {}