Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Definitionsliste

Definition:Symmetrisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Polynom ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}f=f^{\sigma }\,$

besteht, wobei ${}f^{\sigma }$ aus ${}f$ entsteht, indem man überall in ${}f$ die Variable ${}X_{i}$ durch ${}X_{\sigma (i)}$ ersetzt.

Definition:Elementarsymmetrisches Polynom

Das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom in ${}n$ Variablen ist das Polynom (mit ${}i=1,\ldots ,n$)

${}E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.$

Definition:Gradlexikographische Ordnung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

$X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$

falls der Grad von ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$, (also ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$), kleiner als der Grad von ${}X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn ${}a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber ${}a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.

Definition:Gruppenoperation

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,$

heißt Gruppenoperation (von ${}G$ auf ${}M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}ex=x$ für alle ${}x\in M$.
2. ${}(gh)x=g(hx)$ für alle ${}g,h\in G$ und für alle ${}x\in M$.

Definition:Treue Gruppenoperation

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ heißt treu, wenn aus ${}gx=x$ für alle ${}x\in M$ folgt, dass ${}g=e$ ist.

Definition:Invariante Teilmenge

Es sei ${}M$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ${}G$-invariant, wenn zu jedem ${}x\in T$ und jedem ${}\sigma \in G$ auch ${}\sigma x\in T$ gilt.

Definition:Äquivalent (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Man nennt zwei Elemente ${}x,y\in M$

${}G$-äquivalent (oder äquivalent unter ${}G$), wenn es ein ${}g\in G$ mit ${}y=gx$ gibt.

Definition:Bahn (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf ${}M$ zur ${}G$- Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Definition:Fixpunkt (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn ${}gx=x$ ist für alle ${}g\in G$.

Definition:Isotropiegruppe

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Zu ${}x\in M$ heißt

${}G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,$

die Isotropiegruppe zu ${}x$.

Definition:Transitive Gruppenoperation

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ${}x,y\in M$ ein ${}g\in G$ mit ${}gx=y$ gibt.

Definition:Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

$M\backslash G$

bezeichnet. Die Abbildung

$M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$

wobei ${}[x]$ die Bahn durch ${}x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Definition:Invariante Abbildung

Es sei ${}G$ eine Gruppe und seien ${}M$ und ${}N$ zwei Mengen, auf denen jeweils ${}G$ operiert. Dann heißt eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

${}G$-invariant (oder ${}G$-verträglich) wenn für alle ${}g\in G$ und alle ${}x\in M$ die Gleichheit

${}\varphi (gx)=g\varphi (x)\,$

gilt.

Definition:Lineare Operation

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}G$ eine Gruppe. Eine Operation

$\mu \colon G\times V\longrightarrow V$

heißt linear, wenn für jedes ${}\sigma \in G$ die Abbildung

$V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),$

${}K$- linear ist.

Definition:${}G$-invarianter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe, die auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ linear operiere. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ heißt ${}G$-invariant, wenn für alle ${}\sigma \in G$ und alle ${}v\in U$ auch ${}\sigma v\in U$ ist.

Definition:Fixraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe, die auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ linear operiere. Der Untervektorraum

${\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}$

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Definition:Darstellung einer Gruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein (endlichdimensionaler) ${}K$- Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ${}K$).

Definition:Reguläre Darstellung

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von ${}G$ versteht man den Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.$

Definition:Charakter (Monoid)

Es sei ${}G$ ein Monoid und ${}K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

$\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$

ein Charakter von ${}G$ in ${}K$.

Definition:Charaktergruppe

Es sei ${}G$ ein Gruppe und ${}K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

${}G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

Definition:Polynomring zu einem Vektorraum

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen ${}f_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{m}$, wobei die ${}f_{i}$ Linearformen auf ${}V$ sind, symbolisch erzeugte kommutative ${}K$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu ${}V$. Er wird mit

$K[V]$

bezeichnet.

Definition:Induzierter Algebrahomomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V,W$ seien endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ sei eine lineare Abbildung. Den durch

${\varphi }^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

über ${}f_{1}\cdots f_{m}\mapsto {\varphi }^{*}(f_{1})\dots {\varphi }^{*}(f_{m})$ gegebenen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[W]\longrightarrow K[V]$

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Definition:Induzierte Operation auf Polynomring

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Es sei ${}K[V]$ der Polynomring zu ${}V$. Die Operation der Gruppe ${}G$ (von rechts) auf ${}K[V]$, die für jedes ${}\sigma \in G$ per Definition 4.5 durch die Zuordnung

${V}^{*}\longrightarrow {V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \sigma ,$

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.

Definition:Invariantenring

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Definition:Alternierende Gruppe

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Definition:Relative Invarianten

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra, auf der eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter auf ${}G$. Dann nennt man

${}R_{\chi }^{G}:={\left\{f\in R\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

die ${}\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich ${}\chi$.

Definition:Direkter Summand (Ringhomomorphismus)

Es sei ${}R\subseteq S$ ein Unterring eines kommutativen Ringes ${}S$. Man sagt, dass ${}R$ ein direkter Summand von ${}S$ ist, wenn es einen ${}R$- Modul ${}M$ gibt mit ${}S\cong R\oplus M$ (es liegt also ein ${}R$- Modulisomorphismus vor).

Definition:Graduierte Algebra

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}R$- Untermoduln ${}A_{d}$ gibt derart, dass ${}R\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Definition:Homogenes Ideal

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

eine

${}D$- graduierte ${}R$- Algebra. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ heißt homogen, wenn zu ${}f\in {\mathfrak {a}}$ auch die homogenen Komponenten ${}f_{d}\in {\mathfrak {a}}$ sind.

Definition:Monoidring

Es sei ${}M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${}R[M]$ wie folgt konstruiert. Als ${}R$- Modul ist

${}R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,$

d.h. ${}R[M]$ ist der freie Modul mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

definiert und auf ganz ${}R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element ${}0\in M$ das neutrale Element ${}1=e_{0}$ der Multiplikation.

Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid ${}M$ und einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$

auch einen ${}R$-wertigen Punkt von ${}M$.

Definition:Differenzengruppe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${}\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,$

mit der Addition

${}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$

und der Identifikation

$m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$

die Differenzengruppe zu ${}M$.

Definition:Kürzungsregel (Monoid)

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid ${}M$ die Kürzungsregel gilt (oder dass ${}M$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

$m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,$

stets folgt, dass ${}n=k$ ist.

Definition:Endlich erzeugtes Monoid

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ gibt derart, dass man jedes ${}m\in M$ als

${}m=\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}\,$

mit ${}a_{j}\in \mathbb {N}$ schreiben kann.

Definition:Spitzes Monoid

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt spitz, wenn ${}0$ das einzige invertierbare Element in ${}M$ ist.

Definition:Torsionsfreies Monoid

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt torsionsfrei, wenn für ${}m,n\in M$ aus ${}rm=rn$ für eine positive Zahl ${}r\in \mathbb {N} _{+}$ stets ${}m=n$ folgt.

Definition:Normalisierung von Monoiden

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

${}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$

die Normalisierung von ${}M$.

Definition:Veronese-Ring

Es sei ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$- graduierte ${}R$- Algebra und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Dann nennt man

$A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A$

den ${}s$-ten Veronese-Ring von ${}A$.

Definition:Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Definition

   Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Definition

Definition:Kurze exakte Sequenz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M_{1},M_{2},M_{3}$ ${}R$- Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln, wenn ${}M_{1}$ ein ${}R$-Untermodul von ${}M_{2}$ ist, und wenn ${}M_{3}$ ein Restklassenmodul von ${}M_{2}$ ist, der isomorph zu ${}M_{2}/M_{1}$ ist.

Definition:Algebra von endlichem Typ

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

besitzt.

Definition:Endlicher Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition:Ganzes Element

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Definition:Ganzer Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.

Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition:Graßmann-Varietät

Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einer natürlichen Zahl ${}r$ nennt man die Menge der ${}r$- dimensionalen Untervektorräume ${}U\subseteq V$ die ${}r$-te Graßmann-Varietät. Sie wird mit ${}G(r,V)$ und bei ${}V=K^{n}$ mit ${}G(r,n)$ bezeichnet.

Definition:Affin-algebraische Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ${}K$) ist eine Gruppe ${}G$ der Form

${}G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,$

wobei ${}H$ eine kommutative endlich erzeugte ${}K$- Hopf-Algebra ist.

Definition:Lineare Gruppe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Definition:Algebraische Operation

Zu einer affin-algebraischen Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$, die durch die kommutative ${}K$- Hopf-Algebra ${}H$ gegeben sei, nennt man eine Operation von ${}G$ auf einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ gegeben ist.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Definition:Positiv-graduierte Algebra

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine ${}\mathbb {Z}$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra ${}R$ heißt positiv-graduiert, wenn ${}R_{d}=0$ für ${}d<0$ und ${}R_{0}=K$ ist.

Definition:Primidealkette der Länge ${}n$

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die Menge der Primideale von ${}R$ das Spektrum von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq R$ die Mengen

${}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden.

Definition:L-Spektrum

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Zu einer weiteren ${}K$-Algebra ${}L$ nennt man die Menge der ${}K$- Algebrahomomorphismen

$\operatorname {Hom} _{K}(R,L)$

das ${}L$-Spektrum von ${}R$. Es wird mit ${}L\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Multilinear

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ ${}R$- Moduln. Eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt ${}R$-multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$

${}R$- linear ist.

Definition:Tensorprodukt von Moduln

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien ${}R$- Moduln. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie ${}R$- Modul. Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
2. ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,

erzeugte ${}R$- Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$

bezeichnet.

Definition:Durch Ringwechsel gewonnener Modul

Zu einem ${}R$- Modul ${}M$ und einem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R'$

zwischen kommutativen Ringen nennt man ${}R'\otimes _{R}M$ den durch Ringwechsel gewonnenen ${}R'$-Modul.

Definition:Kommutative Hopf-Algebra

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${}K$- Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$- Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

$\epsilon \colon H\longrightarrow K$

und

$S\colon H\longrightarrow H$

gibt, derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Definition:Affines Gruppenschema

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ zusammen mit den induzierten ${}K$- Morphismen

$\Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,$

$\epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G$

und

$S^{*}\colon G\longrightarrow G$

das zugehörige affine Gruppenschema.

Definition:Kooperation

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Unter einer Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ versteht man einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

derart, dass die beiden Diagramme

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Definition:Operation eines affinen Gruppenschemas

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

eine Kooperation von ${}H$ auf einem kommutativen Ring ${}R$ mit dem Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann nennt man den zu ${}N$ gehörenden ${}K$- Morphismus

$N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X$

eine (${}K$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas ${}G$ auf ${}X$.

Definition:Hilbert-Reihe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine positiv-graduierte kommutative ${}K$- Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}d\in \mathbb {N}$ die Stufe ${}R_{d}$ endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe

$\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}\right)}z^{d}$

die Hilbert-Reihe von ${}R$.

Definition:Hilbert-Reihe (Gruppenoperation)

Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,$

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.

Definition:Spur

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

die Spur von ${}M$.

Definition:Spur (Endomorphismus)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$, geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.

Definition:Pseudoreflektion

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$

wobei ${}\zeta \neq 1$ eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

Definition:Reflektionsgruppe

Eine endliche Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.

Definition:Formale partielle Ableitung

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem Polynom

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

und ${}i$, ${}1\leq i\leq n$, heißt das Polynom

${}\partial _{i}F:={\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}:=\sum _{\nu }\nu _{i}a_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}X_{i}^{\nu _{i}-1}X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die formale partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}X_{i}$.

Definition:Isometrie

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$ heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ die Gleichheit

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

gilt.

Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen ${}n$-Eck ($n\geq 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe ${}D_{n}$.

Definition:Halbachsenklassen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes ${}g\neq \operatorname {Id}$ auftritt, eine Achse von ${}G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu ${}G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${}{\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen ${}H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$ heißen äquivalent, wenn es ein ${}g\in G$ mit ${}g(H_{1})=H_{2}$ gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.

Definition:Unitäre Gruppe

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Definition:Spezielle unitäre Gruppe

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ mit Determinante ${}1$ bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Definition:Projektive spezielle lineare Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

$\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$

bezeichnet.

Definition:Quotientensingularität

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.

Definition:Spezielle Quotientensingularität

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.

Definition:Einfach zusammenhängender Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.

Definition:Kontrahierbarer Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt ${}P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

derart gibt, dass die Eigenschaften

1. ${}H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
2. ${}H(-,1)=P$,
3. ${}H(P,t)=P$ für alle ${}t\in [0,1]$

gelten.

Definition:Überlagerung

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

$p\colon Y\longrightarrow X$

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$, ${}i\in I$, derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Definition:Rationale Darstellung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${}K$. Unter einer ${}K$-rationalen Darstellung von ${}G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

mit einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ (also eine Darstellung von ${}G$), die durch einen ${}K$- Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu ${}G$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ induziert wird.

Definition:Irreduzible Darstellung

Eine Darstellung

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

einer Gruppe ${}G$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ heißt irreduzibel, wenn ${}V\neq 0$ ist und wenn die einzigen ${}G$- invarianten Untervektorräume ${}0$ und ${}V$ sind.

Definition:Vollständig reduzible Darstellung

Eine Darstellung

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

einer Gruppe ${}G$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ heißt vollständig reduzibel, wenn ${}V$ die direkte Summe aus ${}G$- invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.

Definition:Linear reduktive Gruppe

Eine affin-algebraische Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$ heißt linear reduktiv, wenn jede ${}K$- rationale Darstellung von ${}G$ vollständig reduzibel ist.

Definition:Orthogonale Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}n$. Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Definition:Symplektische Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$, wobei ${}E_{m}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}m$ ist. Eine Matrix ${}S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,$

heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,$

bezeichnet.