Kurs:Körper- und Galoistheorie/19/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 2 | 5 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 11 | 0 | 4 | 0 | 0 | 32 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
- Ein Algebrahomomorphismus zwischen - Algebren und .
- Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
- Eine Kummererweiterung zum Exponenten eines Körpers , der eine primitive -te Einheitswurzel enthält.
- Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
- Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Isomorphiesatz für Gruppen.
- Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
- /Fakt/Name
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in besitzt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (11 Punkte)
Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten und die Tangente an die Standardparabel zur Stelle .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)