Kurs:Körper- und Galoistheorie/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	2	5	0	4	4	0	0	11	0	4	0	0	36

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen ${}K$- Algebren ${}R$ und ${}S$.
3. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ eines Körpers ${}K$, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel enthält.
5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe ${}G$.
6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
2. Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom ${}P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${}P(z)=0\,$

gibt. Zeige, dass man

${}z={\frac {u}{v}}\,$

schreiben kann, wobei ${}v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${}u$ ein normiertes Polynom ${}Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(u)=0\,$

gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (11 Punkte)

Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,0)$ die Tangente an die Standardparabel zur Stelle ${}x=2$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)