Kurs:Körper- und Galoistheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	0	0	0	3	7	5	8	0	0	6	0	0	0	41

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
3. Eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.
4. Der Primkörper eines Körpers ${}K$.
5. Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${}G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Der Hauptsatz über endliche Körper.
3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.

Aufgabe * (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$, ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.

1. ${}M=\mathbb {Q}$.
2. ${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
4. ${}M=L$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)