Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R=\Z[ { \frac{ 2 }{ 3 } }]$ der von $\Z$ und $2/3$ \definitionsverweis {erzeugte Unterring}{}{} von $\Q$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {algebraischen Zahlen}{}{} $\mathbb A$ keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es nur \definitionsverweis {abzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine algebraische Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es außer $K$ keine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
\mathl{A \subseteq K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Die Identität ist ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{.}
}{Die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} von zwei $K$-Algebraautomorphismen
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {} ist wieder ein Automorphismus.
}{Die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$ zu einem $K$-Algebraautomorphismus $\varphi$ ist wieder ein Automorphismus.
}{Die Menge der $K$-Algebraautomorphismen bilden mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} als Verknüpfung eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der Charakteristik $\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
\maabb {} {L} {L
} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn das um
\mathl{a \in K}{} \anfuehrung{verschobene}{} Polynom
\zusatzklammer {das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch
\mathl{X-a}{} ersetzt} {} {}
irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom
von $x$ und das Inverse von $x$.
(Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe auch eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.
b) Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form
\mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {}
mit
\mathl{m,n\in \Q}{} eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl
\mathl{x \in \Q}{} besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mathl{k,m,n \in \Q}{} besitzt.
d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die sowohl
\mathkor {} {L_1} {als auch} {L_2} {}
als Zwischenkörper enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathbed {x_i \in L} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Körper-Erzeugendensystem}{}{}
\zusatzklammer {als Körper} {} {} von $L$ über $K$. Es seien
\mathl{\varphi, \psi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} mit
\mathl{\varphi(x_i)= \psi(x_i)}{} für alle
\mathl{i \in I}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi = \psi}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mathl{\overline{z}=a-b { \mathrm i}}{} sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathdisp {{\mathbb A} \cap \R \subseteq {\mathbb A}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{ { \frac{ -1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \epsilon \sqrt[3]{7} ]
}
{ =} {L
}
{ \subseteq} {{\mathbb C}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\epsilon \sqrt[3]{7}$.
}{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $3$ ist.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
nicht $L$ in $L$ überführt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$, wenn
\mathl{K[f]=K(f)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im Körper
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{}
\zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
wobei $L$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} sei. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {algebraische Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{K}}{} von $K$ in $L$ algebraisch abgeschlossen ist\zusatzfussnote {Die Bezeichnungen wären natürlich schlecht gewählt, wenn dies nicht gelten würde} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X,Y]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in zwei Variablen. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom in der einen Variablen $X$. Zeige, dass durch die
\definitionsverweis {Einsetzung}{}{}
\mathl{X \mapsto X}{} und
\mathl{Y \mapsto Y+ P(X)}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
von
\mathl{K[X,Y]}{} in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{} über $K$. Zeige, dass es zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
derart gibt, dass
\mathl{L \cong \varphi(L) \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ ist.
}
{} {}