Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{R/{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein Element
\mathl{f \in R}{} genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $S$ ist, wenn in $R$ das Ideal ${\mathfrak a}$ zusammen mit $f$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{S=R/{\mathfrak a}}{.} Zu einem Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} welches
\mathl{{\mathfrak a}}{} enthält, sei
\mathl{I^\prime=I R/{\mathfrak a}}{} das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R /I
}
{ \cong} { S/I^\prime
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende Satz 7.5 auf den \definitionsverweis {kanonischen Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {} {\Z} {R } {} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit einem Element
\mathl{f \in A}{.} Wende
Satz 7.5
auf den zugehörigen
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbele {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {,}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \cong} { \R[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mathl{R=\operatorname{C}^0 \, (X, \R)}{} der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei
\mathl{T \subseteq X}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f\vert_T=0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist. Definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R/I} {\operatorname{C}^0 \, (T, \R)
} {.}
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_5 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom
\mathl{X^6-1}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} in Linearfaktoren zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte den Körper
\mathl{K=\mathbb F_4= \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)}{.} Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\definitionsverweis {Erzeugern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (F_0, F_1 , \ldots , F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{r \in R}{} sei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\mathl{G_i}{} die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R[X] / {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3x+4$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Inverse}{}{}
von
\mathdisp {1
+\sqrt{2}
+3 \sqrt{10}} { }
im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$\Q[\sqrt{2}, \sqrt{5}]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^4-p}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$ ist.
b) Schließe daraus, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier besitzt.
c) Finde einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {K
}
{ \subseteq} {\Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {z = x+ { \mathrm i} y} { \betrag { z }^2 = x^2+y^2 } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i}
}
{ \in }{S^1_\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {x+ { \mathrm i} y} { x^2+y^2 } {,} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+1+2+1)}
{
Betrachte den \definitionsverweis {Körper}{}{} $\Z/(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit $13$ Elementen.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist und folgere, dass
\mathdisp {\Z/(13)[X]/(X^2-5)=:\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }]} { }
ein Körper ist.
}{Betrachte die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathdisp {\Z/(13) \subset \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ]} { }
und berechne
\mathdisp {(2+3{\sqrt{ 5 } })(1+11{\sqrt{ 5 } } )(10+7{\sqrt{ 5 } } )} { }
}{Finde das Inverse zu $7+3{\sqrt{ 5 } }$ in $\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }]$.
}{Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist, dafür aber in $\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ]$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Inverse}{}{}
von
\mathdisp {2
+3 \sqrt{5}
+\sqrt{7}
+3 \sqrt{35}} { }
im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathdisp {\sqrt{3}+ \sqrt{5}} { }
über $\Q$.
}
{} {}