Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde
\definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{}
in den
\definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{,}
\mathl{\Z/(7)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K= \Z/(59)}{} der Körper mit $59$ Elementen.
a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.
b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.
c) Berechne $2^{29}$ in $K$.
d) Man gebe für jede mögliche \zusatzklammer {multiplikative} {} {} Ordnung in $K^\times$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei
\definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von
\mathl{\Z/(8)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere einen Körper ${\mathbb F}_9$ mit $9$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{x \in { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{.} Es sei $a$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $x$ in der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(p),+,0)}{} und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe
\mathl{({ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}, \cdot , 1)}{.} Zeige, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17)
^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie viele \definitionsverweis {primitive Elemente}{}{} besitzt der \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $529$ Elementen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Erweiterung
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $u$ eine
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
von ${\mathbb F}_{ q }$. Was ist die erste Potenz
\mathbed {u^n} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die zu $\Z/(p)$ gehört? Ist dieses $u^n$ ein primitives Element von ${ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von $44!$ modulo $47$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in
\definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{}
im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung
den Satz von Wilson.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
bilden, in der jedes Element zu sich selbst
\definitionsverweis {invers}{}{}
ist.
}
{} {}
Zeige insbesondere, dass die Gruppe in der vorstehenden Aufgabe nicht zyklisch ist.
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde
\definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den
\definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Konstruiere zu einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32}{} und $49$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $\mathbb F_9=\Z/(3)[Z]/(Z^2+1)$ der Körper mit $9$ Elementen \zusatzklammer {$z$ bezeichne die Restklasse von $Z$} {} {.} Führe in $\mathbb F_9[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^4+(1+2z)X^3+zX^2+2X+2+z} {und} {T=(z+1)X^2+zX+2} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
}
{} {}