Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Information/Inhalt

Eine quadratische Gleichung ${}ax^{2}+bx+c=0$ lässt sich durch quadratisches Ergänzen lösen, d.h. man findet die Nullstellen der Gleichung, indem man eine äquivalente rein-quadratische Gleichung ${}x^{2}=d$ löst. Wie sieht es bei einer Gleichung der Form

${}ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

aus (oder im Grad vier)? Die sogenannten Cardanoschen Formeln erlauben auch hier, das Auffinden der Nullstellen auf das Lösen von geeigneten reinen Gleichungen ${}x^{3}=e$ (und reinen quadratischen Gleichungen) zurückzuführen. Ob es ein solches Lösungsverfahren auch für polynomiale Gleichungen vom Grad ${}\geq 5$ gibt war lange Zeit ein offenes mathematisches Problem, das gegen 1830 von Abel und Galois negativ gelöst wurde: ein solches Verfahren kann es nicht geben. Dies ist eines der Hauptergebnisse der Galoistheorie, bei der es darum geht, algebraische Körpererweiterungen mit Hilfe von gruppentheoretischen Eigenschaften der Automorphismengruppe zu studieren. Diese Vorlesung wendet sich an Studierende im zweiten oder dritten Studienjahr und setzt als Grundbegriff nur Polynomringe in einer Variablen über einem Körper voraus.