Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 10

Zerlegung in irreduzible Polynome

Wir möchten nun, abhängig von einem gewählten Grundkörper ${}K$, Aussagen über die irreduziblen Elemente in ${}K[X]$ und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

Dann besitzt jedes Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, eine eindeutige Faktorzerlegung

${}F=\lambda P_{1}^{r_{1}}{\cdots }P_{k}^{r_{k}}\,,$

wobei ${}\lambda \in K$ ist und die ${}P_{i}$ verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.

Beweis

Dies folgt aus

Satz 5.4, aus Satz 9.3

und daraus, dass jedes Polynom ${}\neq 0$ zu einem normierten Polynom assoziiert ist.

$\Box$

Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von irreduziblen Polynomen. Diese Eigenschaft hängt wesentlich vom gewählten Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen.

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