Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 63 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Kommutativität} {} einer Verknüpfung \maabbdisp {\circ} {M \times M} {M } {.}
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines $K$-Vektorraums $V$ \zusatzklammer {$V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem} {} {.}
}{Die
\stichwort {beschreibende Matrix} {}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $V$ und einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $W$.
}{Die \stichwort {Permutationsgruppe} {} zu einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine
\stichwort {affin-lineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.}{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
Zu
\mathl{n \in \N}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[n]
}
{ =} {\{0,1,2, \ldots, n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mathl{n \in \N}{} und jedem
\mathl{0 \leq k \leq n}{} seien die Abbildungen
\maabbdisp {D_k} {[n]} {[n+1]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j < k, \\ j+1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Abbildungen
\maabbdisp {S_k} {[n+1]} {[n]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j \leq k, \\ j-1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für \maabbdisp {D_3} {[4]} {[5] } {.}
b) Erstelle eine Wertetabelle für \maabbdisp {S_3} {[6]} {[5] } {.}
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
\wertetabellesechsausteilzeilen { $j$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{ {5} }
{ $\varphi(j)$ }
{\mazeileundfuenf {0} {2} {2} {4} {5} }
{ {5} } gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {[5]} {[5]
} {}
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten $D_k$ und $S_i$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} und seien
\mathl{U,V \subseteq W}{} Untervektorräume der Dimension
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) } =r}{} und
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } =s}{.} Es gelte
\mathl{r+s >n}{.} Zeige, dass
\mathl{U\cap V \neq 0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind $150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? \zusatzklammer {Rechne mit Monat = $30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ und es sei $w_1 , \ldots , w_n$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{U \subseteq V}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass es
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {3} {1} {4} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.}
Zeige direkt
\zusatzklammer {ohne charakteristisches Polynom} {} {,}
dass ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.}
Zeige direkt
\zusatzklammer {ohne charakteristisches Polynom} {} {,}
dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{}
\definitionsverweis {affine Basen}{}{}
eines
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
$E$. Die Darstellung mit
\definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{}
von $P_i$ bezüglich der $Q_j$ sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^n a_{ij} Q_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezüglich der $P_i$ die baryzentrische Darstellung von $P$ bezüglich der $Q_j$.
}
{} {}