Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 9 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {transponierte Matrix} {} zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M=(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$.
}{Der $i$-te \stichwort {Standardvektor} {} im $K^n$.
}{Das \stichwort {Bidual} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Der \stichwort {Fixraum} {} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für ein inhomogenes \zusatzklammer {und das zugehörige homogene} {} {} Gleichungssystem über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1,v_2,v_3, \ldots}{} eine Aufzählung
\zusatzklammer {ohne Wiederholung} {} {}
der Elemente aus $V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{.}
Zeige durch zwei
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikationen}{}{,}
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \det M } } \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1,v_2,v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines dreidimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ v_1,v_1+v_2,v_2+v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
$100$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und seien
\mathl{U,W \subseteq V}{} zwei verschiedene $99$-dimensionale
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
von $V$. Welche Dimension hat
\mathl{U + W}{} und welche Dimension hat
\mathl{U \cap W}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$. Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( { W }^{ * } , { V }^{ * } \right) } } {\varphi} { \varphi^* } {,} die einer linearen Abbildung ihre \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{} zuordnet, linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V\neq 0$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Zeige, dass es für das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich
\mathl{X,X-1}{} und
\mathl{X(X-1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reell-symmetrische}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass $M$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es dann nur endlich viele \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $\varphi$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+3+4)}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 6 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{} {}