%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 9 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 6 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Familie von Mengen} {.}

}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} einer \zusatzklammer {nicht notwendigerweise endlichen} {} {} Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine \stichwort {Projektion} {} von einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $U \subseteq V$.

}{Der \stichwort {Orthogonalraum} {} zu einem \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} {V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.}{Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.}{Der Satz über die Dimension der Haupträume.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine Abbildung mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} $\Gamma_f \subseteq L \times M$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi= \operatorname{Id}_{ L } \times f} {L} {L\times M } {x} {(x, f(x)) } {,} eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma_f$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion \maabbeledisp {p_2} {L \times M} {M } {(x,y)} {y } {?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise die \stichwort {Nichtnullteilereigenschaft} {} für einen Körper $K$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme für die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mid a_{11} \leq a_{22} \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } (\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Wir betrachten das kleine Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{9 (1+1+6+1)}
{

Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen \zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.} \tabellefuenfvier {\zeileundvier {} { $R_1$ } {$R_2$ } {$R_3$} }
{\zeileundvier { $P_1$ } {11} {5} {3} }
{\zeileundvier {$P_2$ } {8} {4} {6} }
{\zeileundvier {$P_3$ } {7} {30} {1} }
{\zeileundvier {$P_4$ } {12} {0} {15} }

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll. \wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } {P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier {8} {5} {7} {4} }

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird. \wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } {R_2 } {R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {8} {15} {7} } Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt $P_2$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt $P_3$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es seien \mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} von $V$ und \mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {} Basen von $W$. Es seien \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {} die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.} Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K } {M} { \det M } {,} für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n }
{ \in }{ K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} }
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige für
\mathl{n \in \N_+}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j-i) }
{ =} { \prod_{ k=1}^{n-1} (k!) }
{ =} { (n-1)! \cdot (n-2)! \cdots 3! \cdot 2! \cdot 1! }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen \maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K } {x} { x^d } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ d }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. } {Zeige, dass die Exponentialfunktionen \maabbeledisp {\psi_b} {K} {K } {x} { b^x } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ b }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} linear unabhängig sind. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander \definitionsverweis {ähnlich}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} den wir auch als \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} des Vektorraumes $V$ ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} ein \definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist.

}
{} {}