Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 9 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Familie von Mengen} {.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {Projektion} {} von einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $U \subseteq V$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.}{Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.}{Der Satz über die Dimension der Haupträume.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine Abbildung mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} $\Gamma_f \subseteq L \times M$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi= \operatorname{Id}_{ L } \times f} {L} {L\times M } {x} {(x, f(x)) } {,} eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma_f$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion \maabbeledisp {p_2} {L \times M} {M } {(x,y)} {y } {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise die \stichwort {Nichtnullteilereigenschaft} {} für einen Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mid a_{11} \leq a_{22} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (1+1+6+1)}
{
Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
\zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.}
\tabellefuenfvier {\zeileundvier {} { $R_1$ } {$R_2$ } {$R_3$} }
{\zeileundvier { $P_1$ } {11} {5} {3} }
{\zeileundvier {$P_2$ } {8} {4} {6} }
{\zeileundvier {$P_3$ } {7} {30} {1} }
{\zeileundvier {$P_4$ } {12} {0} {15} }
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
\wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } {P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier {8} {5} {7} {4} }
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
\wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } {R_2 } {R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {8} {15} {7} }
Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.
d) Wie viel vom Produkt $P_2$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt $P_3$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {}
Basen von $W$. Es seien
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j-i)
}
{ =} { \prod_{ k=1}^{n-1} (k!)
}
{ =} { (n-1)! \cdot (n-2)! \cdots 3! \cdot 2! \cdot 1!
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
des Vektorraumes $V$ ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} ein
\definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ ist.
}
{} {}