Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Bild} {} einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Transposition} {} auf einer endlichen Menge $M$.
}{Der
\stichwort {Hauptraum} {}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
$\varphi$ auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einem Eigenwert
\mathl{\lambda \in K}{.}
}{Eine \stichwort {Jordanmatrix} {} zu einem Eigenwert $\lambda$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Basisaustauschlemma} {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}{Der Satz über die \stichwort {Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine Abbildung.
a) Zeige, dass es eine Menge $N$ gibt und eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {F} {L} {N
} {}
und eine injektive Abbildung
\maabbdisp {G} {N} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} {G \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass es eine Menge $P$ gibt und eine injektive Abbildung
\maabbdisp {H} {L} {P
} {}
und eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {I} {P} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { I \circ H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise das Basisaustauschlemma.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei
\mathl{K}{} ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * }} {K } {(v,f)} { f(v) } {,} nicht \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit quadratischen Matrizen
\mathkor {} {A,B,C} {und} {D} {}
schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2+7X-4} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Teilmenge von $V$ ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {K^2} {K^2 } {} derart, dass weder \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {noch} {\varphi + \psi} {} nilpotent sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme zur reellen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.}
\zusatzklammer {Es muss keine Basis angegeben werden, bezü\-glich der jordansche Normalform vorliegt.} {} {}
}
{} {}