Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 1 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Übergangsmatrix} {}
zum Basiswechsel von einer Basis
\mathl{\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n}{} zu einer anderen Basis
\mathl{\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die
\stichwort {Dimension der Homomorphismenräume} {.}}{Die
\stichwort {Leibniz-Formel} {}
für die Determinante.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * }} {K } {(v,f)} { f(v) } {,} nicht \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit quadratischen Matrizen
\mathkor {} {A,B,C} {und} {D} {}
schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Permutation8.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Permutation8.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {3} {1} {4} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Wir betrachten in
\mathl{\Q[X]}{} die beiden
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mathkor {} {(X-2)} {und} {(X+3)} {.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {(X-2) \cap (X+3)} { }
gleich dem Hauptideal
\mathl{( (X-2)\cdot(X+3) )}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zu einer
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M
}
{ \defeq} { X^2 - \operatorname{Spur} { \left( M \right) } X + \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_M(M)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.
}
{} {}