Kurs:Lineare Algebra/Teil I/25/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Bild} {} einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Der
\stichwort {Hauptraum} {}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
$\varphi$ auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einem Eigenwert
\mathl{\lambda \in K}{.}
}{Eine \stichwort {Jordanmatrix} {} zu einem Eigenwert $\lambda$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für ein inhomogenes \zusatzklammer {und das zugehörige homogene} {} {} Gleichungssystem über einem Körper $K$.}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}{Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $V$ ein Vektorraum und
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n} { }
eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt
\zusatzklammer {d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im $\R^2$ gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $8 000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $75\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $0 \%$ wechseln zu $C$ und $15 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$, $5\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $B$ und $25 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $15\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $1500$ Abonnenten und es gibt $3500$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $8000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise die Dimensionsformel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es genau dann eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\definitionsverweis {invariante Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U ,W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Dimension $k$ bzw. $n-k$ gibt, wenn es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ gibt, bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
von $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1k} & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & \ldots & a_{kk} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \ldots & 0 & a_{k+1 k+1} & \ldots & a_{k+1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & a_{n k+1} & \ldots & a_{n n}
\end{pmatrix}} { }
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\0\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\3\\ -7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 1 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -9 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Definiere eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit $4$ Elementen, in der jedes Element zu sich selbst \definitionsverweis {invers}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
} {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 9 & 3 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \\0 & 0 & 13 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und seien \maabb {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} von denen die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi \circ \psi$ bestimmen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^3
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Id}_{ V } + \varphi}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 8 & 2 & 1 \\ 0 & 8 & 3 \\0 & 0 & 8 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 8 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 1 \\0 & 0 & 8 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}