Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Summe} {}
von Untervektorräumen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n \subseteq V}{} in einem Vektorraum $V$.
}{\stichwort {Ähnliche} {}
Matrizen
\mathl{M,N \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Die \stichwort {duale Abbildung} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Ein \stichwort {Fehlstand} {} zu einer \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\maabbdisp {\pi} { { \{ 1 , \ldots , n \} } } { { \{ 1 , \ldots , n \} } } {.}
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} $d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.}{Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.}{Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Vektoren. Zeige, dass
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, wenn
\mathl{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3}{} linear unabhängig sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1, U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
gleicher Dimension. Zeige, dass
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ein gemeinsames
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Urbildes}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \Q \begin{pmatrix} 25 \\11\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \Q^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\Q^4} {\Q^3} {
\begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (5+3)}
{
a) Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {L_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbdisp {L_1 \times \cdots \times L_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( L_1 \times \cdots \times L_n \right)
}
{ =} { \det L_1 \cdots \det L_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Es seien
\mathkor {} {V} {und} {T} {}
endlichdimensionale $K$-Vektorräume und
\maabbdisp {L} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung. Es sei
\maabbeledisp {\varphi} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( T , V \right) } } {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( T , V \right) }
} { f} { L \circ f
} {,}
die induzierte Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ =} { { \left( \det L \right) }^{ \dim_{ K } { \left( T \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der
\definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+2+3)}
{
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n \times n$-Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}} { . }
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
Es sei der Zykel
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1}{} gegeben und sei $M$ die zugehörige
$n \times n$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
über einem Körper $K$.
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mathl{< n}{.} Erstelle eine Formel für
\mathl{(P(M))(e_1)}{.}
b) Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$.
c) Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
$\varphi$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_2)
}
{ = }{ v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_3)
}
{ = }{ v_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt und dass das Minimalpolynom von $\varphi$ nicht
\mathl{X^3-1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\5\\ 4 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(1,0)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{} {}