Lösung
- Die Abbildung
-
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu
.
- Eine
-Matrix über
ist ein Schema der Form
-
wobei die
aus
sind.
- Man nennt
-

den Kern von
.
- Eine
lineare Abbildung
-
heißt
Projektion,
wenn
-

gilt.
- Das
Polynom
-

heißt charakteristisches Polynom von
.
- Eine Familie von Punkten
,
,
in einem
affine Raum
über einem
-Vektorraum
heißt eine
affine Basis
von
, wenn zu einem
die Vektorfamilie
-
eine
Basis
von
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
- Die
Cramersche Regel
zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
- Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.
Lösung
- Es sei
ein Körper und es seien
und
Vektorräume über
. Es sei
,
,
eine Basis von
und es seien
,
,
Elemente in
. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
-
mit
-
- Es sei
ein Körper und
-
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem
Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
invertierbar
sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für
durch
-
- Es sei
ein
Endomorphismus
auf dem
endlichdimensionalen
-Vektorraum
und es sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
beschreibende Matrix
zu
bezüglich dieser Basis. Dann ist
genau dann ein
Eigenvektor
zu
zum
Eigenwert
, wenn das
Koordinatentupel
zu
bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu
zum Eigenwert
ist.
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
(ohne Abfall)
in Stücke zerlegt werden, die zwischen
und
cm lang sein sollen
(jeweils einschließlich).
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
Lösung
Es sei
die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
kann man das Stück in zwei
(beispielsweise gleichgroße)
Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
-

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
-

mit einer natürlichen Zahl
.
Wenn man
durch
dividiert, erhält man
-

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.
Lösung
Lösung
Wir nehmen an, dass
-

ist, wobei
verschiedene Primzahlen und
rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als
nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die
ganze Zahlen sind. Wir wenden die
Exponentialfunktion
auf die obige Gleichung an und erhalten
-

Es sei
die Teilmenge aller
, für die der Exponent
nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form
-

Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle
sein.
Im
seien die beiden Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für
.
Lösung
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
besitzt eine Darstellung
-
Die Koeffiziententupel
bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
-
und die dritte Gleichung durch
-
Wir wählen
, so dass
sein muss. Dies legt eindeutig
und dann auch
fest. Daher ist der Durchschnitt
eindimensional und
-

ist ein Basisvektor von
.
Lösung
Lösung
Bestimme die komplexen Zahlen
, für die die Matrix
-
nicht invertierbar ist.
Lösung
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante
ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist
(nach der Regel von Sarrus)
-

Dies ist gleich
genau dann, wenn
-
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
-

Daher sind
-
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen
(reellen oder komplexen)
Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
Lösung
Seien zwei Permutationen
und
gegeben. Dann ist

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
-

gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung
Aufgabe (11 (3+3+2+3) Punkte)
Es sei
ein
Körper
und seien
-
Elemente, die nicht alle gleich
seien. Wir betrachten die
-Matrix
-

wobei die Einträge durch
-

gegeben sind.
a) Bestimme den
Rang
der Matrix
.
b) Zeige, dass der Vektor
ein
Eigenvektor
zu
ist und bestimme den zugehörigen
Eigenwert.
c) Zeige, dass
bei
diagonalisierbar
ist.
d) Zeige, dass
bei
nicht diagonalisierbar sein muss.
Lösung
a) Es ist
-

Daher besitzt die durch
gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
-
Daher ist das Bild von
maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens
. Da nicht alle
gleich
sind, ist
nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau
.
b) Es ist

Da nicht alle
gleich
sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
c) Die Matrix
besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen
-dimensionalen
Kern.
Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von
verschiedenen Eigenwert
(da wir in
sind und eine Summe von Quadraten betrachten).
Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich
und somit liegt nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
eine diagonalisierbare Abbildung vor.
d) Es sei
und
.
Die in Frage stehende Matrix ist dann
-

Das charakteristische Polynom davon ist
-

Daher ist
der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Man gebe eine Matrix
der
Ordnung
an.
Lösung
Sei
-

Dann ist
-

Ferner ist
-

und
-

also ist die Ordnung gleich
.
Lösung
Die nilpotente
-Jordanmatrix hat die Gestalt
-
Die zugehörige lineare Abbildung
ist also durch
-
gegeben. Die
-te Iteration
davon bildet somit
auf
-
ab. Daher gehören die
zum Kern von
. Die Basisvektoren
werden hingegen unter
auf die linear unabhängigen Vektoren
abgebildet. Daher ist der Rang gleich
und es ist
-

mit der Dimension
. Die Kerne
bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um
wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.
Es seien
und
affine Räume
über
mit Punkten
und
. Zeige, dass im
Produktraum
die
baryzentrische
Beziehung
-

gilt.
Lösung
Zur Auswertung des baryzentrischen Ausdruckes wählen wir
als Aufpunkt und erhalten
