Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	5	2	3	5	0	0	6	0	3	4	3	0	5	42

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Den durch Körperwechsel ${}K\subseteq L$ aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
2. Der Satz des Thales.
3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${}\mathbb {R} ^{2}$, aber nicht als Teilraum von ${}\mathbb {R}$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisieren kann.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ und ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-1$ von ${}M$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im ${}\mathbb {R} ^{2}$, es geht also um die Menge aller Tupel ${}(A,B,C)\in (\mathbb {R} ^{2})^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.$