Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	0	1	2	9	4	2	0	6	0	0	0	38

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
2. Eine eigentliche Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

3. Ein Minkowski-Raum.
4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}(M,d)$.
6. Die aus einer ${}K$- linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   durch einen Körperwechsel ${}K\subseteq L$ gewonnene ${}L$-lineare Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ zu ${}v\in V$ stets reell sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ definiert einen Endomorphismus ${}\mu _{z}\colon x\rightarrow zx$. Skizziere in der Ebene ${}{\mathbb {C} }$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass ${}\mu _{z}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

1. Die Isotropiegruppe zur ${}x$-Achse und zur ${}z$-Achse.
2. Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
3. Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)