Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 0 }
\renewcommand{\asechs}{ 7 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 1 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 44 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{\stichwort {Orthogonale} {}
Vektoren
\mathl{v,w \in V}{} in einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Die
\stichwort {Gramsche Matrix} {}
zu einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$.
}{Ein \stichwort {selbstadjungierter} {} Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Ein \stichwort {Normalteiler} {} $N$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Eine \stichwort {Körpererweiterung} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Polarisationsformel} {} für ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf einem reellen Vektorraum.}{Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien $V$ und $W$ \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ ist $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ derart, dass $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es seien
\mathl{A,B}{} verschiedene Punkte in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Mittelsenkrechte}{}{}
zu
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
aus allen Punkten besteht, die zu
\mathkor {} {A} {und } {B} {}
den gleichen
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
haben.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Ist die Einschränkung einer
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
im $\R^n$ auf einen
\mathl{n-1}{-}dimensio\-nalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden
\definitionsverweis {Basen}{}{}
des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+2+2)}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Gruppe
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2) \times \Z/(2)}{} nicht die
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zeige, dass man die Gruppe
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2) \times \Z/(2)}{} als
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der vollen Isometriegruppe
\mathl{\operatorname{O}_{ 3 } \! { \left( \R \right) }}{} realisieren kann.
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cuboid diagonal-orthogonal.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cuboid diagonal-orthogonal.png } {} {Tomruen} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{,} bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge $M^n$ gegen eine Matrix $N$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} bei der jede Spalte gleich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.
}
{} {}