Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	12	6	12	2	10	3	3	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthogonalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Eine eigentliche Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Die Linksnebenklasse von ${}x$ in einer Gruppe ${}G$ bezüglich einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
5. Ein orientierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum.
6. Ein stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
2. Der Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Aufgabe * (12 (2+2+1+1+1+5) Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der Maximumsnorm

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,$

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit der Eigenschaft

${}\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Eine solche Matrix nennen wir ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

1. Zeige, dass eine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix invertierbar ist.
2. Zeige, dass die Menge der ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die ${}1$ jeweils ein ${}+$ oder ein ${}-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine ${}3\times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ${}1$ ist.
5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
6. Zeige, dass jede ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Aufgabe * (12 (2+3+2+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme den Umfang des Dreiecks.
2. Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen ${}n$ und ${}n+1$ liegt.
3. Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$.
4. Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
5. Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Matrix, die zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&5-3{\mathrm {i} }&7{\mathrm {i} }\\0&17&1-{\mathrm {i} }\\1+{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&5-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.

Aufgabe * (10 (1+3+2+2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$. Zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ und einer Linearform

${}L=aX+b\,$

mit ${}a\neq 0$ bezeichnet

$P{\frac {L}{X}}$

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von ${}X$ in ${}P$ durch ${}aX+b$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation ${}\sim$ auf ${}K[X]$, die durch

${}P\sim Q\,,$

falls es eine Linearform ${}aX+b$ mit ${}a\neq 0$ mit

${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$

gibt.

1. Berechne

   ${\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}.$

2. Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
3. Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten ${}Q$ mit

   ${}Q(0)=0\,$

   besitzt.

4. Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom ${}\neq 0$ einen normierten Repräsentanten besitzt.
5. Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ${}P\neq 0$ nur von der Äquivalenzklasse ${}[P]$ abhängt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\{P\}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme das minimale ${}n$ derart, dass in der ${}n$-ten Potenz ${}M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte ${}\leq {\frac {1}{1000}}$ bezüglich der Maximumsnorm des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?