Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 1

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Ein abstraktes und

Übungsaufgaben

Aufgabe

ein konkretes Mengendiagramm.

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

1. ${}GA\setminus RA$.
2. ${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
3. ${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
4. ${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
5. ${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
7. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
8. ${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
9. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
10. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

$M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$

die Mengen

1. ${}M\cap N$,
2. ${}M\cap N\cap P\cap R$,
3. ${}M\cup R$,
4. ${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$,
5. ${}N\setminus R$,
6. ${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
7. ${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
8. ${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.

Aufgabe *

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

1. ${}A\cup \emptyset =A\,,$

2. ${}A\cap \emptyset =\emptyset \,,$

3. ${}A\cap B=B\cap A\,,$

4. ${}A\cup B=B\cup A\,,$

5. ${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$

6. ${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$

7. ${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$

8. ${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$

9. ${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel *****.

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

1. Eine Kreislinie ${}K$.
2. Ein Geradenstück ${}I$.
3. Eine Gerade ${}G$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Zu einer endlichen Menge ${}M$ bezeichnet man mit ${}{\#\left(M\right)}$ die Anzahl der Elemente von ${}M$.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung ${}M\cup N$ gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei endliche Teilmengen einer Menge ${}G$. Zeige, dass die Formel

${}{\#\left(M\right)}+{\#\left(N\right)}={\#\left(M\cup N\right)}+{\#\left(M\cap N\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ${}M\times N$ ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung

${}{\#\left(M\times N\right)}={\#\left(M\right)}\cdot {\#\left(N\right)}\,$

gilt.

In den folgenden Aufgaben soll das Beweisprinzip der Induktion geübt werden.

Aufgabe

Die Städte ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.

Aufgabe *

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

1. Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$.
2. Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.
3. Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$.
4. Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$.
5. Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B$,
2. ${}A\cap B=A$,
3. ${}A\cup B=B$,
4. ${}A\setminus B=\emptyset$,
5. Es gibt eine Menge ${}C$ mit ${}B=A\cup C$,
6. Es gibt eine Menge ${}D$ mit ${}A=B\cap D$.

Aufgabe (4 Punkte)

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer ${}n$-Schokolade aus genau ${}n-1$ Teilungsschritten besteht.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Menge und es seien ${}M_{i}\subseteq G$, ${}i=1,\ldots ,n$, endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei

${}M_{J}=\bigcap _{i\in J}M_{i}\,.$

Beweise die Anzahlformel

${}{\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}M_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(M_{J}\right)}\right)}\,.$

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