Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}4&7&-3\\2&7&5\\0&0&-6\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}4&2&2\\1&1&3\\3&0&4\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit fünf Elementen trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper ${}K$, seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen und es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Produktabbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle ${}\varphi _{i}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\varphi )$ ebenfalls trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}{\varphi }^{*}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

${\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\\ast &a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\ast &\cdots &\ast &a_{n-1}&0\\\ast &\cdots &\cdots &\ast &a_{n}\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum ${}0\subseteq V$ ist ${}\varphi$- invariant.
2. ${}V$ ist ${}\varphi$- invariant.
3. Eigenräume sind ${}\varphi$-invariant.
4. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ ${}\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch ${}U_{1}\cap U_{2}$ und ${}U_{1}+U_{2}$ ${}\varphi$-invariant.
5. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum ${}\varphi (U)$ und der Urbildraum ${}\varphi ^{-1}(U)$ ${}\varphi$-invariant.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}v\in V$. Zeige, dass der kleinste ${}\varphi$- invariante Unterraum von ${}V$, der ${}v$ enthält, gleich

$\langle \varphi ^{n}(v),\,n\in \mathbb {N} \rangle$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum von ${}V$. Zeige, dass zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ der Raum ${}U$ ebenfalls ${}P(\varphi )$-invariant ist.

Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$, bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

$\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$

${}\varphi$- invariant für jedes ${}i$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$. Zu ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei

${}V_{J}=\langle e_{j},\,j\in J\rangle \subseteq K^{n}\,.$

a) Zeige, dass ${}V_{J}$ genau dann ${}M_{\pi }$- invariant ist, wenn ${}\pi (J)\subseteq J$ ist.

b) Zeige, dass es ${}M_{\pi }$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form ${}V_{J}$ sind.

Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu

${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in ${}V$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

derart gibt, dass diese Fahne die einzige ${}\varphi$- invariante Fahne ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und ${}V$ ein zweidimensionaler ${}K$- Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ der Körper mit drei Elementen und ${}V$ ein dreidimensionaler ${}K$- Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in ${}V$.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix über einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass es eine zu ${}M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ${}M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich ${}0$ sind.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Trigonalisiere die komplexe Matrix

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&3\\5{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}5&-1&3\\7&9&8\\6&2&-7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}1&5&6&2\\5&7&-4&-3\\0&0&-2&8\\0&0&1&9\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reelle ${}2\times 2$-Matrix, die über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix über ${}\mathbb {Q}$, deren Spur gleich ${}0$ sei. Zeige, dass es eine zu ${}M$ ähnliche Matrix ${}N$ der Gestalt

${}N={\begin{pmatrix}0&r\\s&0\end{pmatrix}}\,$

gibt.