Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Raumes der
\mathl{2 \times 2}{-}Matrizen.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Lösungsraumes des \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-3y+7z+5u -v }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+6z-10u+3v }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Raumes aller $m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$ ist und bestimme seine \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}


Eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij} }
{ = }{ a_{ji} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i,j$ ist.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrizen}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$ ist und bestimme seine \definitionsverweis {Dimension}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher \definitionsverweis {Dimension}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} c \\a\\ b \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} b \\c\\ a \end{pmatrix} }
{ \in} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man gebe Beispiele für
\mathl{a,b,c}{} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
\mathl{0,1,2,3}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) } }
{ = }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} \zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V }
{ \subseteq }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ = }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ = }{ s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r+s }
{ > }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine \definitionsverweis {Dimension}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,} und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei die Standardbasis
\mathl{e_1,e_2,e_3,e_4}{} im $\R^4$ gegeben und die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0\\-4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5\\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5\\1 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Vektoren \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer \definitionsverweis {Basis}{}{.} Kann man jeden Standardvektor nehmen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass $V$ nicht zugleich eine endliche \definitionsverweis {Basis}{}{} und eine unendliche Basis besitzen kann.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg} }
\end{center}
\bildtext {Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.} }

\bildlizenz { Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg } {Albrecht Dürer} {} {Commons} {PD} {}


Eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{{ \left( a_{ij} \right) }_{ij}}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {magisches Quadrat}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {linear-magisches Quadrat}{} über $K$} {} {,} wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.


In diesem Sinne ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & c \end{pmatrix}} { }
für jedes
\mathl{c \in K}{} ein magisches Quadrat.




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {linear-magischen Quadrate}{}{} der Länge $n$ über $K$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} bildet.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der davon \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Familie genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $U$ gleich $m$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{


a) Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Lösungsraumes des \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+5y+7z+4u -3v +2w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 x+ 9y+6z+5u -v +w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 x+ 8y-3z+u +3v +3w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- x+ 6y+16z+8u -7v }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v,w}{.}


b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v,w,r,s}{} auffasst?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Raumes aller \definitionsverweis {linear-magischen Quadrate}{}{} der Länge $n$ über $K$.

}
{} {}

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