Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Liste der Hauptsätze

???: Eindeutige Existenz des Inversen

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

 

???: Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

 

???: Eliminationslemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$, das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.

 

???: Elimination auf Dreiecksgestalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper ${}K$

lässt sich durch die in Lemma 5.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten ${}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von ${}0$ verschieden sind.

Dabei ist (bei ${}d_{m+1}=0$) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ${}d_{m+1}\neq 0$) das System besitzt keine Lösung.

Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form

${\begin{matrix}c_{11}y_{1}&+c_{12}y_{2}&\ldots &+c_{1m}y_{m}&+c_{1m+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{1n}y_{n}&=&d_{1}\\0&c_{22}y_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+c_{2n}y_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&c_{mm}y_{m}&+c_{mm+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{mn}y_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &0&0&\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

mit Diagonalelementen ${}c_{ii}\neq 0$.

 

???: Lösungsmenge zu linearem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$

mit ${}m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente ${}a_{ii}$ alle ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$. D.h. die hinteren ${}n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

 

???: Das Superpositionsprinzip

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ und es sei

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist,

so ist ${}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.

 

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

 

???: Charakterisierungen von Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

   ${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

 

???: Existenz von Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

 

???: Basisaustauschlemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$.

Dann ist auch die Familie

$v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

eine Basis von ${}V$.

 

???: Basisaustauschsatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Basis

$b_{1},\ldots ,b_{n}.$

Ferner sei

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$.

Dann gibt es eine Teilmenge

${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I\,$

derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist.

Insbesondere ist ${}k\leq n$.

 

???: Anzahl von Basiselementen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

 

???: Dimension des Standardraums

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.

 

???: Dimension von Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist ${}U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

${}\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

 

???: n Vektoren in n-dimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

 

???: Basisergänzungssatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

linear unabhängige Vektoren in ${}V$.

Dann gibt es Vektoren

$u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

eine Basis von ${}V$ bilden.

 

???: Basiswechsel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$, die wir zur ${}n\times n$- Matrix

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

 

???: Übergangsmatrizen bei drei Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$.

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Insbesondere ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.$

 

???: Dimension von Untervektorräumen (Durchschnitt und Summe)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume.

Dann ist

$\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\,.$

 

???: Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$ und es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}=n-k_{1}$ bzw. ${}\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=n-k_{2}$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$

 

???: Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus ${}k$ Gleichungen in ${}n$ Variablen gegeben.

Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich ${}n-k$.

 

???: Direktes Komplement

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

vorliegt.

 

???: Verknüpfung linearer Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

 

???: Umkehrabbildung einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

 

???: Festlegungssatz für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

 

???: Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Dann sind die in Definition 10.11 festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

 

???: Isomorphe Vektorräume

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$.

 

???: Injektivitätskriterium

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

 

???: Dimensionsformel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

 

???: Lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.

 

???: Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrizenmultiplikation

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit Basen

${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$

Es seien

$\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ))\,.$

 

???: Basiswechsel bei linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {u}}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ Basen von ${}W$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$ durch die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.

Dann wird ${}\varphi$ bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ durch die Matrix

$M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$

beschrieben, wobei ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ und von ${}{\mathfrak {w}}$ nach ${}{\mathfrak {z}}$ beschreiben.

 

???: Basiswechsel für Endomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$.

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}\,.$

 

???: Zeilenumformungen und Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

 

???: Rang von Matrix und linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

 

???: Zeilenrang und Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$.

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 12.9 verwendeten Zahl ${}r$.

 

???: Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}M$ ist invertierbar.
2. Der Rang von ${}M$ ist ${}n$.
3. Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.
4. Die Spalten von ${}M$ sind linear unabhängig.

 

???: Funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

2. Eine lineare Abbildung

   $\psi \colon W\longrightarrow T$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

 

???: Homomorphismenraum und Matrizenraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$.

Dann ist die Zuordnung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$

ein Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen.

 

???: Dimension des Homomorphismenraumes

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

 

???: Nulltest mit Linearformen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es sei ${}v\in V$ ein von ${}0$ verschiedener Vektor.

Dann gibt es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}f(v)\neq 0$.

 

???: Dualbasis

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$.

Dann bildet die Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,$

eine Basis des Dualraums.

 

???: Basiswechsel für Dualbasen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ und mit

${}w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$

Dann ist

${}w_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\,,$

wobei ${}{\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von ${}A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.

 

???: Zweifach orthogonaler Raum und Dimension des orthogonalen Raumes

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Zu Untervektorräumen ${}F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist

   ${}F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$

3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,$

   und

   ${}\left(F^{\perp }\right)^{\perp }=F\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,$

   und

   ${}\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(F\right)}\,.$

 

???: Endlichdimensionaler Vektorraum/Umtervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt

Endlichdimensionaler Vektorraum/Umtervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt

 

???: Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$, wobei ${}W$ endlichdimensional sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es Vektoren ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ und Linearformen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf ${}V$ mit

${}\varphi =f_{1}w_{1}+f_{2}w_{2}+\cdots +f_{n}w_{n}\,.$

 

???: Matrixbeschreibung für die duale Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${}m\times n$- Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

bezüglich der Dualbasen von ${}{W}^{*}$ bzw. ${}{V}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

 

???: Natürliche Abbildung ins Bidual

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

$\Psi \colon V\longrightarrow {({V}^{*})}^{*},\,v\longmapsto {\left(f\mapsto f(v)\right)}.$

Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so ist ${}\Psi$ ein Isomorphismus.

 

???: Determinante für obere Dreiecksmatrizen

Für eine obere Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix ${}\det E_{n}=1$.

 

???: Vertauschungseigenschaft bei alternierender Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

 

???: Multilinearität der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für ${}u,w\in K^{n}$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

 

???: Strukturelle Eigenschaften der Determinante II

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

alternierend.

 

???: Charakterisierung von invertierbar mit Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\det M\neq 0$.
2. Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.
3. ${}M$ ist invertierbar.
4. Es ist ${}\operatorname {rang} \,M=n$.

 

???: Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$

mit

${}\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1\,,$

wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

 

???: Multiplikationssatz für die Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

 

???: Determinante der transponierten Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$.

Dann ist

${}\det M=\det {M^{\text{tr}}}\,.$

 

???: Entwicklungssatz für Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$)

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

 

???: Adjungierte Matrix und Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$.

Dann ist

${}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=(\det M)E_{n}=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })\,$

Wenn ${}M$ invertierbar ist, so ist

${}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.$

 

???: Die Cramersche Regel

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für ${}x_{j}$ durch ${}x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$.

 

???: Ordnung der Permutationsgruppe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau ${}n!$ Elemente.

 

???: Permutationen und Transpositionen

Jede Permutation auf einer endlichen Menge ${}M$

kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.

 

???: Signum und Fehlstände

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei ${}k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von ${}\pi$.

Dann ist das Signum von ${}\pi$ gleich

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$

 

???: Signum als Abbildung

Die durch das Signum gegebene Zuordnung

$S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

 

???: Signum und Transpositionen

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei

${}\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,$

als ein Produkt von ${}r$ Transpositionen geschrieben.

Dann gilt für das Signum die Darstellung

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{r}\,.$

 

???: Leibniz-Formel für die Determinante

Für die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

gilt

${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

 

???: Division mit Rest (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

 

???: Linearer Faktor und Nullstelle eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

 

???: Anzahl von Nullstellen eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

 

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

 

???: Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/2/Fakt

Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/2/Fakt

 

???: Eigenwerte zu Endomorphismus und Matrix

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Dann ist ${}v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}a$, wenn das Koordinatentupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}a$ ist.

Insbesondere besitzen ${}\varphi$ und ${}M$ die gleichen Eigenwerte.

 

???: Eigenraum als Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$.

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}\right)}\,.$

 

???: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

 

???: Eigenwerte bei endlichdimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es maximal ${}\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu ${}\varphi$.

 

???: Diagonalisierbare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
3. Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

   $BMB^{-1}$

   eine Diagonalmatrix ist.

 

???: Diagonalisierbarkeit und Eigenräume

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn ${}V$ die direkte Summe der Eigenräume ist.

 

???: Satz über Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

 

???: Geometrische und algebraische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$.

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

 

???: Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

 

???: Der Satz von Cayley-Hamilton

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Es sei

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$

das charakteristische Polynom zu ${}M$.

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

 

???: Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.

 

???: Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Es gibt eine ${}\varphi$- invariante Fahne.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
4. Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$) ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

 

???: Das Lemma von Bezout

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über ${}K$. Es sei ${}G$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$.

Dann gibt es eine Darstellung

${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

 

???: Dimension der Haupträume

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}\lambda \in K$.

Dann ist die Dimension des Hauptraumes ${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von ${}\lambda$.

 

???: Direkte Summe der Haupträume

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein trigonalisierbarer ${}K$- Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ die direkte Summe der Haupträume, also

${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$

wobei ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ die verschiedenen Eigenwerte zu ${}\varphi$ durchläuft, und ${}\varphi$ ist die direkte Summe der Einschränkungen

$\varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}$

auf den Haupträumen.

 

???: Satz von der kanonischen additiven Zerlegung

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein trigonalisierbarer ${}K$- Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine Zerlegung

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar und ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent ist, und zusätzlich

${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

gilt.

 

???: Jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

besitzt, wobei die ${}c_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.

D.h., dass ${}\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.

 

???: Jordansche Normalform

Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$

gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform besitzt.

 

???: Satz über baryzentrische Koordinaten

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es für jeden Punkt ${}P\in E$ eine eindeutige baryzentrische Darstellung

${}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,.$

 

???: Charakterisierung einer affinen Abbildung mit baryzentrischen Kombinationen

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über einem Körper ${}K$ und sei

$\psi \colon E\longrightarrow F$

eine Abbildung.

Dann ist ${}\psi$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ die Gleichheit

${}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i})\,$

gilt.

 

???: Festlegungssatz für affine Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis von ${}E$ und ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Punkten in ${}F$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für alle ${}i\in I$.