Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex

\setcounter{section}{45}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf den ganzen Zahlen $\Z$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M=\N \times \N}{.} Wir fixieren die Sprünge
\mathdisp {\pm (2,1) \text{ und } \pm (1,3)} { , }
und sagen, dass zwei Punkte
\mathl{P=(a,b),\, Q=(c,d) \in M}{} äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann \zusatzklammer {und dabei in $M$ bleibt} {} {.} Dies ist eine Äquivalenzrelation. Man bestimme die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und für jede Äquivalenzklasse genau einen besonders einfachen Vertreter. Man gebe auch einen Algorithmus an, der zu einem $(a,b) \in M$ diesen äquivalenten Vertreter findet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Wir betrachten die folgende Relation auf $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$.
\mathdisp {M \sim N, \text{ falls es eine invertierbare Matrix } B \text{ gibt mit } M=BNB^{-1}} { . }
Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf $V$, die durch
\mathdisp {v \sim w, \text{ falls es ein } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text{ mit } v = \lambda w \text{ gibt }} { }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$. Definiere auf $M$ eine Relation durch
\mathdisp {f \sim g \text{ falls } f(0)=g(0),\, f'(0)=g'(0) \text{ und } f^{\prime \prime}(1) = g^{\prime \prime} (1)} { . }

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein Intervall und betrachte die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1(I,\R) }
{ \defeq} {\{f: I \rightarrow \R: f \text{ ist differenzierbar} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{f,g \in C^1(I,\R)}{} definieren wir
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls es ein } c \in \R \text{ gibt mit } f(x)=g(x) + c \text { für alle } x \in I} { . }
Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $B$ ein Blatt Papier \zusatzklammer {oder ein Taschentuch} {} {.} Man versuche, sich die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $B$ und die zugehörige \definitionsverweis {Identifizierungsabbildungen}{}{} vorzustellen \zusatzklammer {möglichst geometrisch} {} {.} \aufzaehlungacht{Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch \zusatzklammer {bezüglich des Mittelpunktes des Blattes} {} {} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $K$ ein Kreis \zusatzklammer {d.h. eine Kreislinie} {} {} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es gebe zwei Punkte $P \neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die auf $\N \times \N$ in Beispiel 45.16 eingeführte \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d=b+c} { , }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die auf $\Z$ in Beispiel 45.16 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Betrachte auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} $V^m$ die folgende \definitionsverweis {Relation}{}{.}
\mathdisp {( v _1 , \ldots , v _m ) \sim ( w _1 , \ldots , w _m ) , \text{ falls } \langle v_1 , \ldots , v_m \rangle = \langle w_1 , \ldots , w_m \rangle} { }
Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. Man gebe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen der zugehörigen \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} und der Menge der \definitionsverweis {Unterräume}{}{} von $V$ der Dimension $\leq m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel \mathkor {} {( v _1 , \ldots , v _m )} {und} {( w _1 , \ldots , w _m )} {} genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $m\times m$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij} }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^m a_{ij} w_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }

a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b' }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

d) Definiere auf $M$ \zusatzklammer {aus Teil c} {} {} eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2) }
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2 }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} Mengen und $\sim_1$ sei eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M_1$ und $\sim_2$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_2$. Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} $M_1 \times M_2$, die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ und } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definiert ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf $M_1 \times M_2$ die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ oder } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{P \subseteq \mathfrak {P} \, (M ) \,}{.} Dann heißt $P$ eine
\betonung{Partition}{} von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Für alle
\mathl{A \in P}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{A,B \in P}{,}
\mathl{A \neq B}{,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$. } Beweise, dass die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathl{M/\sim \, = \{[x] : x \in M \}}{} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{P \subseteq \mathfrak {P} \, (M )}{} eine Partition. Zeige, dass $P$ durch

\mathdisp {x \sim y, \text{ falls es ein } A \in P \text{ gibt mit } x \in A \text{ und } y \in A} { , }
eine Äquivalenzrelation auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition
\mathl{\{ \{1\},\{2,3,4\},\{5,6\}, \{7\} \}}{} der Menge
\mathl{\{1,2,3,4,5,6,7 \}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mathl{R:=\bigcap_{i \in I} R_i}{} wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {TwoTone.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { TwoTone.svg } {} {Stevo} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3 \times 3$-Schachbrett aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ \defeq} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \sim }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mathl{A \triangle B}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} $\kappa_g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{\kappa_g(y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass diese Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ nennt man die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Elemente als äquivalent \zusatzklammer {oder \definitionswort {konjugiert}{}} {} {} gelten, wenn sie durch einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} ineinander überführt werden können, die \definitionswort {Konjugationsklassen}{.}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $S_3$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich selbst. Bestimme die \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} dieser Gruppe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Menge der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\mathl{n\times n}{-}Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander \definitionsverweis {konjugierte}{}{} Matrizen \mathkor {} {M} {und} {N} {} aus
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die \definitionsverweis {Determinante}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die Dimension der \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zu einem Eigenwert, die \definitionsverweis {Diagonalisierbarkeit}{}{,} die \definitionsverweis {Trigonalisierbarkeit}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der induzierten \definitionsverweis {Metrik}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf $U$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} {\R^n } {t} { \gamma(t) } {,} mit \mathkor {} {\gamma(0)=x} {und} {\gamma(1)=y} {} gibt. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $U$ ist.

}
{} {}