Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

 

???: Eigenschaften der Norm zu einem Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

 

???: Polarisationsformel

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

und bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

$\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

 

???: Normierter Raum und Metrik

Ein normierter Vektorraum ${}V$ ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

 

???: Satz des Pythagoras (Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen.

Dann ist

${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

 

???: Koeffizienten bei Orthonormalbasis

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthonormalbasis von ${}V$.

Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors ${}v$ bezüglich dieser Basis durch

${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

 

???: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

 

???: Orthogonales Komplement und direkte Summe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist

${}V=U\oplus U^{\perp }\,,$

d.h. ${}V$ ist die direkte Summe aus ${}U$ und seinem orthogonalen Komplement.

 

???: Explizite Beschreibung einer orthogonalen Projektion

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ von ${}U$.

Dann ist die orthogonale Projektion auf ${}U$ durch

${}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gegeben.

 

???: Isometrie und Längentreue

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.
4. Für alle ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.

 

???: Isometrie und Orthonormalbasen

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

 

???: Matrixcharakterisierung von Isometrien

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

ist.

 

???: Eigenwerte von Isometrien

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$.

Bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ sind nur die Eigenwerte ${}1$ und ${}-1$ möglich.

 

???: Determinante einer Isometrie

Die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$

ist ${}1$ oder ${}-1$.

 

???: Spektralsatz für komplexe Isometrien

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie.

Dann besitzt ${}V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$.

Insbesondere ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

 

???: Eigentliche Isometrie in der Ebene

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine eigentliche, lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung,

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${}D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}}\,$

mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel ${}\theta \in [0,2\pi [$.

 

???: Eigenvektor zu eigentlicher Isometrie im ${}\mathbb {R} ^{3}$

Eine eigentliche Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$,

d.h. es gibt eine Gerade (durch den Nullpunkt), die unter ${}\varphi$ fest bleibt.

 

???: Invarianz des orthogonalen Komplements

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ invariant.

Insbesondere kann man ${}\varphi$ als direkte Summe

${}\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$

schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

 

???: Eigentliche Isometrie im ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist ...

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine eigentliche Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.

Das bedeutet, dass ${}\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

 

???: Existenz von invarianten Untervektorräumen

Es sei ${}V\neq 0$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann besitzt ${}V$ einen ${}\varphi$- invarianten Untervektorraum ${}U\subseteq V$ der Dimension ${}1$ oder ${}2$.

 

???: Struktursatz für Isometrien

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ eine orthogonale direkte Summe

${}V=G_{1}\oplus \cdots \oplus G_{p}\oplus H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{q}\oplus E_{1}\oplus \cdots \oplus E_{r}\,$

von ${}\varphi$- invarianten Untervektorräumen, wobei die ${}G_{i},H_{j}$ eindimensional und die ${}E_{k}$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den ${}G_{i}$ ist die Identität, auf ${}H_{j}$ die negative Identität und auf ${}E_{k}$ eine Drehung ohne Eigenwerte.

 

???: Struktur winkeltreuer Abbildungen

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine Isometrie

$\psi \colon V\longrightarrow V$

und eine Streckung

$\sigma \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi =\sigma \circ \psi \,.$

 

???: Abstand zu Unterraum

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$.

Dann ist ${}p_{U}(v)$ derjenige Punkt auf ${}U$, der unter allen Punkten auf ${}U$ zu ${}v$ den minimalen Abstand besitzt.

Insbesondere ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,.$

 

???: Abstand von windschiefen Geraden

Es seien

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,$

windschiefe Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit Vektoren ${}v,w\in \mathbb {R} ^{3}$. Es sei ${}u$ ein normierter Vektor, der zu ${}v$ und ${}w$ senkrecht sei.

Dann ist

${}d(G,H)=\vert {\left\langle P-Q,u\right\rangle }\vert \,.$

 

???: Kongruenzsatz für Dreiecke

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.

 

???: Ähnlichkeitssatz (Winkel)

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

 

???: Satz des Pythagoras (Dreieck)

In einem rechtwinkligen Dreieck

ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

 

???: Kathetensatz

Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt ${}C$. Es sei ${}h$ die Höhe durch ${}C$ und ${}D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$.

Dann ist

${}d(A,C)^{2}=d(A,D)\cdot d(A,B)\,.$

 

???: Höhensatz

Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt ${}C$. Es sei ${}h$ die Höhe durch ${}C$ und ${}D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$.

Dann ist

${}d(C,D)^{2}=d(A,D)\cdot d(B,D)\,.$

 

???: Kosinussatz

In einem Dreieck ${}(A,B,C)$ mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und dem Winkel ${}\gamma$ an ${}C$

gilt

${}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$

 

???: Satz des Thales

Es sei ${}P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene ${}E$, ${}K$ der Kreis mit Radius ${}r>0$ und Mittelpunkt ${}P$ und es sei ${}G$ eine Gerade durch ${}P$, die den Kreis in den Punkten ${}A$ und ${}B$ trifft.

Dann ist für jeden Punkt ${}C\in K$ das Dreieck ${}A,B,C$ rechtwinklig an ${}C$.

 

???: Strahlensatz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},v\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren und ${}v$ sei sowohl zu ${}s_{1}$ als auch zu ${}s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien ${}S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und ${}S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$

und es seien ${}A_{1},A_{2},A_{1}-A_{2}\neq 0$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}={\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}\,.$

 

???: Dreistrahlensatz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},s_{3}\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren und es sei ${}v\in V$ linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien ${}S_{i}=\mathbb {R} s_{i}$, ${}i=1,2,3$, die durch die ${}s_{i}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,A_{3}=S_{3}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,\,B_{3}=S_{3}\cap H,$

und es seien ${}B_{1}\neq B_{2}$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{2},B_{3})}{d(A_{2},A_{3})}}={\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}\,.$

 

???: Satz über die Seitenhalbierenden

In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene

treffen sich die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt ${}{\frac {A+B+C}{3}}$ des Dreiecks.

 

???: Mittelsenkrechte und Abstandsbedingung

Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene.

Dann besteht die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ genau aus allen Punkten, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.

 

???: Satz über den Umkreismittelpunkt

Die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem nichtausgearteten Dreieck der euklidischen Ebene

schneiden sich in einem Punkt.

Alle Eckpunkte des Dreiecks besitzen zu diesem Schnittpunkt den gleichen Abstand.

 

???: Winkelhalbierende und Abstandsbedingung

Es seien ${}v,w$ linear unabhängige Vektoren in ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Dann liegen auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}w$ nur Punkte, die zu ${}\mathbb {R} v$ und ${}\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand haben. Wenn ein Punkt zu ${}\mathbb {R} v$ und ${}\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand besitzt, so liegt er auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}w$ oder auf der Winkelhalbierenden zu ${}v$ und ${}-w$.

 

???: Satz über die Winkelhalbierenden

Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck

treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

Wenn die Eckpunkte durch ${}A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$ und die Seitenlängen mit ${}a=d(B,C),b=d(A,C),c=d(A,B)$ bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten

${\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}.$

 

???: Satz über den Höhenschnittpunkt

Es sei ${}U$ der Umkreismittelpunkt und ${}S$ der Schwerpunkt eines nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene.

Dann liegt der Punkt

$U+3{\overrightarrow {US}}$

auf jeder Höhe des Dreiecks.

Insbesondere schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.

 

???: Linearform und Gradient bei Skalarprodukt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$

Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und ${}f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.

 

???: Gramsche Matrix bei Basiswechsel (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}GA\,.$

 

???: Trägheitssatz von Sylvester

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

 

???: Minorenkriterium

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

 

???: Minorenkriterium für Definitheit

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

 

???: Eigenwertkriterium für den Typ

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Dann besitzt der Typ ${}(p,q)$ der Form folgende Interpretation: ${}p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu positiven Eigenwerten und ${}q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu negativen Eigenwerten.

 

???: Gramsche Matrix bei Basiswechsel (Sesquilinearform)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit einer Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}G{\overline {A}}\,.$

 

???: Existenz des adjungierten Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu ${}\varphi$ und ist eindeutig bestimmt.

 

???: Matrixbeschreibung eines selbstadjungierten Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer (jeden) Orthonormalbasis von ${}V$ durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird.

 

???: Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von ${}V$ aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$.

 

???: Normcharakterisierung von normalen Endomorphismen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist normal.
2. Für alle ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$

3. Für alle ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$

 

???: Eigenwerte bei einem normalen Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ ist ein Eigenwert von ${}\varphi$ genau dann, wenn ${}{\overline {\lambda }}$ ein Eigenwert von ${}{\hat {\varphi }}$ ist.
2. Ein Vektor ${}v\in V$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$ genau dann, wenn ${}v$ ein Eigenvektor zu ${}{\hat {\varphi }}$ zum Eigenwert${}{\overline {\lambda }}$ ist.

 

???: Spektralsatz für normale Endomorphismen (C)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ gibt.

 

???: Satz über die Hauptachsentransformation

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}\Psi$ eine hermitesche Form auf ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von ${}V$ (bezüglich des Skalarproduktes), die eine Orthogonalbasis bezüglich ${}\Psi$ ist.

 

???: Hauptachsentransformation für quadratische Polynome

Jedes reelle quadratische Polynom

${}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$

besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis die Form (mit $k\leq n$)

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,$

oder die Form (mit $k\leq n-1$)

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1}\,.$

 

???: Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$.

 

???: Kernkriterium für Injektivität

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

 

???: Der Homomorphiesatz (Gruppen)

Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Der Isomorphiesatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

 

???: Der Faktorisierungssatz (Gruppen)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

 

???: Isomorphiesatz für Restklassengruppen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler mit der Restklassengruppe ${}Q=G/N$. Es sei ${}H\subseteq G$ ein weiterer Normalteiler in ${}G$, der ${}N$ umfasst.

Dann ist das Bild ${}{\overline {H}}$ von ${}H$ in ${}Q$ ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie

${}G/H\cong Q/{\overline {H}}\,.$

 

???: Die Restklassenringe von Z

Es sei ${}d\geq 0$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}\mathbb {Z} /(d)$ derart, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),\,a\longmapsto {\overline {a}}\,,$

ein Ringhomomorphismus ist.

${}\mathbb {Z} /(d)$ ist ein kommutativer Ring mit ${}d$ Elementen (bei $d\geq 1$).

 

???: Vektorraumstruktur auf Restklassenraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch ${}U$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}V$ und es sei

$q\colon V\longrightarrow V/U,\,v\longmapsto [v],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$-Vektorraumstruktur auf ${}V/U$ derart, dass ${}q$ eine ${}K$- lineare Abbildung ist.

 

???: Der Homomorphiesatz (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow &\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Der Isomorphiesatz (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$- Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W.$

 

???: Der Faktorisierungssatz (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$- Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$V{\stackrel {q}{\longrightarrow }}V/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}W,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und ${}i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in ${}W$ ist.

 

???: Dimension des Restklassenraumes

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

${}U\subseteq V\,$

ein Untervektorraum.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(V/U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$

 

???: Endliche Untergruppen der ${}\operatorname {SO} _{2}$

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.

Dann ist ${}G$ eine zyklische Gruppe.

 

???: Numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Ordnung ${}n$ in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Es seien ${}K_{1},\ldots ,K_{m}$ die verschiedenen Halbachsenklassen zu ${}G$, und zu jeder dieser Klassen sei ${}n_{i}$, ${}i=1,\ldots ,m$, die Ordnung der Gruppe ${}G_{H}$, ${}H\in K_{i}$, die nach Fakt ***** unabhängig von ${}H\in K_{i}$ ist.

Dann ist

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

 

???: Lösungen für Platongleichung

Die numerische Gleichung

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

mit

${}n\geq 2,\,m\in \mathbb {N}$ und mit ${}2\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \ldots \leq n_{m}\leq n$ besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.

1. ${}m=2$ und ${}n=n_{1}=n_{2}$.
2. Bei ${}m=3$ gibt es die Möglichkeiten
   1. ${}n_{1}=n_{2}=2$ und ${}n=2n_{3}$,
   2. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=n_{3}=3$ und ${}n=12$,
   3. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=4$, und ${}n=24$,
   4. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=5$, und ${}n=60$.

 

???: Klassifikationssatz für endliche Symmetriegruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Dann ist ${}G$ eine der folgenden Gruppen.

1. Eine zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$, ${}n\geq 1$,
2. Eine Diedergruppe ${}D_{k}$, ${}k\geq 2$,
3. Die Tetraedergruppe ${}A_{4}$,
4. Die Würfelgruppe ${}S_{4}$,
5. Die Ikosaedergruppe ${}A_{5}$.

 

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es seien ${}V$ und ${}W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stetig.
2. ${}\varphi$ ist stetig im Nullpunkt.
3. Die Menge

   ${\left\{\varphi (v)\mid v\in V,\,\Vert {v}\Vert =1\right\}}$

   ist beschränkt.

 

???: Normen auf endlichdimensionalen Vektorräumen

Auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ sind je zwei Normen

äquivalent.

 

???: Stetigkeit linearer Abbildungen (endlichdimensional)

Es seien ${}V$ und ${}W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}V$ endlichdimensional.

Dann ist ${}\varphi$ stetig.

 

???: Grenzvektor von Potenzen eines Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Es sei ${}v\in V$ derart, dass die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ konvergiert.

Dann ist der Grenzvektor

${}w:=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\,$

der Nullvektor oder ein Eigenvektor von ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}1$.

 

???: Potenzzerlegung eines Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit der Zerlegung (im Sinne von Satz 28.1)

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$

mit einer (untereinander vertauschbaren) diagonalisierbaren und einer nilpotenten Abbildung mit

${}\varphi _{\rm {nil}}^{k}=0\,.$

Dann besitzen die Potenzen von ${}\varphi$ die Darstellung

${}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,$

 

???: Charakterisierung für asymptotisch stabil

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

 

???: Charakterisierung für stabil

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stabil.
2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

   mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

 

???: Konvergenzsatz für stochastische Matrizen

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind.

Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge ${}M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von ${}M$.

 

???: Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

   ist ${}K$- multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$- Vektorraum und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$- lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

 

???: Basis vom Tensorprodukt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}J_{1},\ldots ,J_{n}$ Indexmengen und

$v_{ij},j\in J_{i},$

Vektoren in ${}V_{i}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familien jeweils ein Erzeugendensystem von ${}V_{i}$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   ein Erzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

2. Wenn die Familien jeweils linear unabhängig in ${}V_{i}$ sind, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   linear unabhängig in ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

3. Wenn die Familien jeweils eine Basis von ${}V_{i}$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   eine Basis von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

 

???: Dimension des Tensorproduktes

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$.

Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich

${}\dim _{K}{\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdots \dim _{K}{\left(V_{n}\right)}\,.$

 

???: Basiswechsel beim Tensorprodukt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und ${}w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen

${}B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}}\,.$

Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen

$v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J\,\,{\text{ und }}\,\,w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J$

des Tensorproduktes durch die ${}J\times J$-Matrix mit den Einträgen

${}c_{(j_{1},\ldots ,j_{n}),(k_{1},\ldots ,k_{n})}=a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}\,$

beschrieben.

 

???: Tensorprodukte vom Dualraum

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle { V_1 }^{ * } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { V_n }^{ * } \longrightarrow { { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }^{ * } , \, f_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } f_n \longmapsto { \left( v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) \right) } . }

 

???: Universelle Eigenschaft des Dachprodukts

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

$\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

 

???: Alternierende Abbildungen und Dachprodukt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,K),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

 

???: Basis für Dachprodukte

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann bilden die Dachprodukte

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.

 

???: Dimension der äußeren Potenzen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$.

Dann besitzt das ${}n$-te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

${\binom {m}{n}}.$

 

???: Orientierungen auf Vektorraum und Dachprodukt

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension ${}n$.

Dann entsprechen durch die Zuordnung

$[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$

die Orientierungen auf ${}V$ den Orientierungen auf ${}\bigwedge ^{n}V$.