Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} derart, dass es $n \times n$-Matrizen
\mathl{A,B}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ = }{ E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \circ M }
{ = }{ E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dass $M$ \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{M \circ N}{} invertierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (M \circ N)^ {-1} }
{ =} { N^{-1} \circ M^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} \mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich zweier \definitionsverweis {Basen}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn die Spalten der Matrix ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^m$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in ein lineares Gleichungssystem. } {Löse dieses lineare Gleichungssystem. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige  direkt, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2+3{ \mathrm i} & 1-{ \mathrm i} \\ 5-4{ \mathrm i} & 6-2{ \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme, ob die \definitionsverweis {komplexe}{}{} \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

b) Finde eine Lösung für das \definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & 7 & -4 \\9 & 17 & -2 \end{pmatrix}} { }
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme explizit den \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} und den Zeilenrang der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\6 & -1 & 3 \end{pmatrix}} { . }
Beschreibe \definitionsverweis {lineare Abhängigkeiten}{}{} \zusatzklammer {falls solche existieren} {} {} zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} der \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} nicht ändert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn es eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ = }{E_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $B$ eine $n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $A$ eine $m\times n$-Matrix. Zeige, dass für den \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, A \circ B }
{ \leq} { {\min { \left( \operatorname{rang} \, A , \operatorname{rang} \, B , \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, A \circ M }
{ =} { \operatorname{rang} \, M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Unter einer \definitionswort {Blockmatrix}{} versteht man eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} { , }
wobei $A$ eine
\mathl{r \times s}{-}Matrix, $B$ eine $r \times (n-s)$-Matrix, $C$ eine $(m-r) \times s$-Matrix und $D$ eine $(m-r) \times (n-s)$-Matrix ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine \definitionsverweis {Blockmatrix}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rang}{}{} von $M$ gleich der Summe der Ränge von $A$ und von $B$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 5+8 { \mathrm i} & 3-7{ \mathrm i} \\ 2-9{ \mathrm i} & 4-5{ \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 2 \\2 & -3 & 6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Führe das Invertierungsverfahren für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} \mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich zweier \definitionsverweis {Basen}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi }
{ =} { \operatorname{rang} \, M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}