Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Basen}{}{} $v,u$ und $v,w$ im $\R^2$, dass die \definitionsverweis {Koordinatenfunktion}{}{} $v^*$ von der Basis und nicht nur von $v$ abhängt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 4 \\6\\ 7 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 3 \\-3\\ 8 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabb {f} {\R^3} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \operatorname{kern} f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4x+7y-3z+6u+5v }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch \definitionsverweis {Realteil}{}{} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} reelle \definitionsverweis {Linearformen}{}{} auf ${\mathbb C}$ definiert sind, wobei ${\mathbb C}$ als reeller Vektorraum betrachtet wird.

Ist der \definitionsverweis {Betrag}{}{} einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mathl{(n-1)}{-}dimensionaler \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabb {f} { V } { K } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \operatorname{kern} f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \notin }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabb {\varphi} { V } { K } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(U) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu jedem $k$ gebe es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbdisp {\varphi_k} { V } { K } {} mit
\mathdisp {\varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k} { . }
Zeige, dass die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es seien
\mathl{L,L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {Linearformen}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i }
{ \subseteq} { \operatorname{kern} L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn $L$ zu dem von den
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} \zusatzklammer {im \definitionsverweis {Dualraum}{}{}} {} {} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} der \definitionsverweis {Standarddualbasis}{}{} als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} zur \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}\, , u_2= \begin{pmatrix} -2 \\2 \end{pmatrix}}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{} von $W$. Zeige, dass
\mathbeddisp {v_i^* w_j} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{j= 1 , \ldots , m} {} {} {,} eine Basis des \definitionsverweis {Homomorphismenraumes}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * }} {K } {(v,f)} { f(v) } {,} nicht \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix über $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) } }
{ =} { \operatorname{Spur} { \left( B \circ A \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Definition 14.16 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { \operatorname{ End}_{ } ^{ } { \left( V \right) } } {K } {\varphi} { \operatorname{Spur} { \left( \varphi \right) } } {,} $K$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Spur}{}{} zu einer \definitionsverweis {linearen Projektion}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -9 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 13 \\23\\ 33 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabb {f} {\R^3} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \operatorname{kern} f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (1+1+2+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

1) Zeige, dass die Vektoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} b \\-a\\ 0 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\c\\ -b \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} c \\0\\ -a \end{pmatrix} }
{ \in} { K^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Lösungen zur linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax+by+cz }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind.

2) Zeige, dass diese drei Vektoren \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 4 \\7 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 6 \\-1 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*,u_3^*}{} der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 1 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 5 \\3\\ 2 \end{pmatrix} ,\, u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 7 \end{pmatrix}}{} im $\R^3$ als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*, e_2^*, e_3^*}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Raum der $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über dem Körper $K$ mit der Standardbasis
\mathl{e_{ij}}{.} Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis
\mathl{e_{ij}^*}{.}

}
{} {}