Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für $5$ Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für $3$ Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel $3$ Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der \definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{} für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für $5$ Euro verkauft?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
zum
\definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 5 \\-4\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{,}
dessen Lösungsraum die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -1 \end{pmatrix} \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U^{ { \perp } }
}
{ \subseteq }{{ V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der
\definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Untervektorräume sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \langle u_1 , \ldots , u_r \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ f \in { V }^{ * } \mid f(u_i) = 0 \text{ für alle } i = 1 , \ldots , r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 15.6 (4) mit Hilfe von Lemma 13.13 (1).
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
a) Zeige, dass es
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den Raum der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} mit \definitionsverweis {Linearformen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Es sei $L$ eine
$\ell \times m$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $N$ eine $n \times p$-Matrix. Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ M \mid M \in \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) , \, L \circ M \circ N = 0 \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} ist.
b) Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
und $W$ ein $m$-dimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum
\mathdisp {{ \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi(U) \subseteq T \right\} }} { }
mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 4 \\-7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 8 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 7 \\1\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\4\\ 2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_1 \oplus V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { V_1^{ { \perp } } \oplus V_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dass die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
der
\definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { { V }^{ * } } { { V_1 }^{ * }
} {}
auf
\mathl{V_2^{ { \perp } }}{} ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Stelle die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 5 & 2 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^3} {K^2
} {}
im Sinne von
Lemma 15.10
mit der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
bzw. der
\definitionsverweis {Standarddualbasis}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
und es sei
\maabbdisp {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, \varphi^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
und es sei
\maabb {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq }{ \varphi(U)
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der entsprechende Untervektorraum in $W$. Zeige, dass sich in den Dualräumen die
\definitionsverweis {Orthogonalräume}{}{}
\mathkor {} {U^{ { \perp } }} {und} {T^{ { \perp } }} {} entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
und es sei
\maabbdisp {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{*-1} ( S^{ { \perp } } )
}
{ =} { (\varphi (S))^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Zeige, dass für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^*( T^{ { \perp } } )
}
{ =} { (\varphi^{-1}(T))^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {\R^{(\N)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die abzählbar direkte Summe von $\R$ mit sich selbst mit der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
Es seien
\mathbed {p_k} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,}
die Projektionen
\maabbeledisp {} {\R^{(\N )}} { \R
} { \sum_{n \in \N} a_n e_n } {a_k
} {.}
a) Zeige, dass \maabbeledisp {\varphi} {V} {\R } {\sum_{n \in \N} a_n e_n} { \sum_{n \in \N} a_n } {,} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} auf $V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.
b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von $V$ in sein
\definitionsverweis {Bidual}{}{}
\mathl{{ { V }^{ * } }^{ * }}{} nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( { W }^{ * } , { V }^{ * } \right) } } {\varphi} { \varphi^* } {,} die einer linearen Abbildung ihre \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{} zuordnet, linear ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der Dimension $n$, es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_r
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \langle f_1 , \ldots , f_r \rangle
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Linearformen genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( F^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { n-r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (5+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 6 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\3\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\5\\ -8 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Stelle die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 6 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 \\ 8 & 1 & 2 & 7 \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^4} {K^3
} {}
im Sinne von
Lemma 15.10
mit der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
bzw. der
\definitionsverweis {Standarddualbasis}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} und
\definitionsverweis {Bidual}{}{}
\mathl{{ { V }^{ * } }^{ * }}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die beiden Orthogonalräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {im Sinne von
Definition 15.4} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } }
}
{ \subseteq }{ { { V }^{ * } }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {im Sinne von
Definition 15.1} {} {}
über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.
}
{} {}
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