Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 30/latex

\setcounter{section}{30}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} der Dimension $d$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G }
{ \subseteq }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {affine Unterräume}{}{} der Dimension \mathkor {} {r} {bzw.} {s} {.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F\cap G }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} leer ist, oder eine Dimension von zumindest
\mathl{r+s -n}{} besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob die Punkte
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\4\\ 7 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -2 \\1\\ 6 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 3 \\-9\\ 4 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -8 \\8\\ 3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$ \definitionsverweis {affin-unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} sind \definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.} }{Für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ist die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} }{Es gibt ein
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} derart, dass die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
linear unabhängig ist. }{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} bilden in dem von ihnen \definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{} eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Punkte bilden eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} von $E$. }{Die Punkte bilden ein minimales \definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{} von $E$. }{Die Punkte sind maximal \definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass diese Punkte genau dann eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} von $E$ bilden, wenn sie sowohl \definitionsverweis {affin unabhängig}{}{} sind als auch ein \definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{} von $E$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {P} {\R} {\R } {} definieren.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über den \definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {bzw.} {W} {.} Es sei eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {E} {F } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} und ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (P+v) }
{ =} { \psi(P) + \varphi(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {affin-linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {\psi} {\R} {\R } {} eine Abbildung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(x) }
{ =} { ax+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige direkt, dass $\psi$ mit \definitionsverweis {baryzentrischen Kombinationen}{}{} verträglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {PunktLinie2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { PunktLinie2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} $\varphi$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P_i) }
{ = }{Q_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Siebenpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Siebenpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} $\varphi$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P_i) }
{ = }{Q_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {affine Ebene}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\7\\ -6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\5\\ 1 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {Urbild}{}{} über $1$ einer \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} \maabb {\psi} {\R^3} {\R } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\5\\ 4 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {Urbild}{}{} über $(1,0)$ einer \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} \maabb {\psi} {\R^3} {\R^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Projektionen}{}{} \maabbdisp {} {E \times F} {E } {} und \maabbdisp {} {E \times F} {F } {} \definitionsverweis {affine Abbildungen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Räume genau dann \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { { \left\{ \left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) \in K^n \mid \sum_{i = 1}^n a_i = 1 \right\} } }
{ \subset} {K^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) \longmapsto \sum_{i = 1}^n a_iP_i} { }
eine wohldefinierte \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} von $F$ nach $E$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {E} {F } {} eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über $K$. Zeige, dass zu jedem \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi (H)}{} ein affiner Unterraum von $F$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\psi} {E} {E } {} eine \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$. Zeige, dass der \definitionsverweis {lineare Anteil}{}{} $\psi_0$ genau dann die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist, wenn $\psi$ eine \definitionsverweis {Translation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass die Abbildung, die einer \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {E} {E } {} ihren \definitionsverweis {linearen Anteil}{}{} $\psi_0$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Id}_{ E } \right) }_0 }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} } {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi)_0 }
{ =} { \psi_0 \circ \varphi_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} von $E$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1 , \ldots , Q_n }
{ \in }{ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte. Es sei \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} die zugehörige \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(P_i) }
{ =} { Q_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen.

a) $\psi$ ist genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{,} wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} eine affine Basis von $F$ ist.

b) $\psi$ ist genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{,} wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} \definitionsverweis {affin unabhängig}{}{} ist.

c) $\psi$ ist genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} ein \definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{} von $F$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {E} {F } {} eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Urbilder}{}{}
\mathl{\varphi^{-1} (Q)}{} zu allen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zueinander \definitionsverweis {parallel}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {E} {F } {} eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über $K$. Zeige, dass zu jedem \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(G)}{} ein affiner Unterraum von $E$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {affine Ebene}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 5 \\6\\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\-4\\ 8 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5 \\4\\ 7 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {Urbild}{}{} über $1$ einer \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} \maabb {\psi} {\R^3} {\R } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und \maabbdisp {\psi} {E} {E } {} eine \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_{n+1} }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {affin unabhängige}{}{} Punkte, die zugleich \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $\psi$ seien. Zeige, dass $\psi$ die Identität ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (3+2+1)}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {E} {F } {} eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über $K$.

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} $G$ von $\varphi$ ein \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{} des \definitionsverweis {Produktraumes}{}{}
\mathl{E \times F}{} ist.

b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi} {E} {G } {P} {(P, \varphi (P)) } {,} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} von affinen Räumen ist.

c) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { p_2 \circ \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $p_2$ die \definitionsverweis {Projektion}{}{} auf $F$ bezeichne.

}
{} {}