Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \anfuehrung{symmetrischen}{} $2 \times 2$-Matrizen über einem Körper $K$, also Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{12} }
{ =} {a_{21} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} bildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $\R^2$ \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} sind: \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x+2y = 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x \geq y \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_3 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x+1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_4 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung \maabbeledisp {} {K \times V} {V } { (s,v)} { s v } {,} derart, dass diese Struktur alle \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} außer
\mathdisp {(5) \,\, \, 1u = u} { }
erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung \maabbeledisp {} {K \times V} {V } { (s,v)} { s v } {,} derart, dass diese Struktur alle \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} außer
\mathdisp {(6) \,\, \, r(su) = (rs)u} { }
erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung \maabbeledisp {} {K \times V} {V } { (s,v)} { s v } {,} derart, dass diese Struktur alle \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} außer
\mathdisp {(7) \,\, \, r(u+v) = ru +rv} { }
erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung \maabbeledisp {} {K \times V} {V } { (s,v)} { s v } {,} derart, dass diese Struktur alle \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} außer
\mathdisp {(8) \,\, \, ( r+s) u = ru +su} { }
erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn \mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$-Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen. Zeige, dass $D$ kein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $2 \times 2$-Matrizen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten im $\Q^3$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I }
{ \defeq} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Indexmengen. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^J }
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in natürlicher Weise ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $K^I$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} sei $I$ eine Indexmenge, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^I }
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ f \in K^I \mid f(i) = 0 \text { für alle } i \in I \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $K^I$ ist. } {Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_i }
{ \in }{ K^I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i (j ) }
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } j = i \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Familie
\mathbed {e_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. }

}
{} {}

Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {{ \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Cauchyfolge in } K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $C$ ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Folgenraums
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} {{ \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Folge in } K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ monoton} \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} kein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die mit der stellenweisen Addition $+$ von Funktionen eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist. Auf dieser Menge bildet die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von Abbildungen $\circ$ eine \definitionsverweis {assoziative Verknüpfung}{}{} mit der \definitionsverweis {Identität}{}{} als \definitionsverweis {neutralem Element}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f+g) \circ h }
{ =} { f \circ h +g \circ h }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. } {Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h \circ (f+g) }
{ =} { h \circ f + h \circ g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(1,0,0)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1)} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist und dass sich $w$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Sei
\mathbed {U_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{} von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\bigcap_{j \in J} U_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Untervektorraum. }{Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von Elementen in $V$ ist der \definitionsverweis {erzeugte Unterraum}{}{} ein Unterraum. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle }
{ =} { V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten \zusatzklammer {dabei sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0v }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s 0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1) v }
{ = }{ -v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten im $\Q^4$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbdisp {+} {M \times M} {M } {} und einer Abbildung \maabbdisp {\cdot} {K \times M} {M } {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {M } {} eine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} mit
\mathdisp {\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y) \text{ und } \varphi(s x) = s \varphi(x)} { }
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}