Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex
\setcounter{section}{39}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$ vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf dem $\R^2$ sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} {x_1x_2 -y_1y_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
gegeben. Bestimme zu jeder Geraden $G$ durch den Nullpunkt, ob die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
der Form auf die Gerade
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,} \definitionsverweis {negativ definit}{}{}
oder die
\definitionsverweis {Nullform}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass die negierte Form
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{} den Typ
\mathl{(q,p)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p'
}
{ \leq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ \leq }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $d$-dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p'
}
{ \geq} {d+p-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
auf $V$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{}
reelle
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$A$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { A^{ \text{tr} } } M A
}
{ =} { D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass die Dimension des
\definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{}
gleich
\mathdisp {n-p-q} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die Dimension des
\definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{}
nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Bilinearform ist
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
der Bilinearform bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
ist
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}
}{Die Bilinearform ist vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,n-p)}{}
\zusatzklammer {mit einem
\mathl{p \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
zu dieser Form bezüglich der Basen $\mathfrak{ u }$ und $\mathfrak{ v }$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $G$ genau dann positiv
\zusatzklammer {negativ, $0$} {} {}
ist, wenn dies auf die Determinante von $H$ zutrifft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \\1 & 3 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
mit
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearformen}{}{}
\mathkor {} {\Psi_U} {und} {\Psi_V} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass auf
\mathl{U \oplus V}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Theta ( (u_1,v_1), (u_2,v_2))
}
{ =} { \Psi_U (u_1,u_2) + \Phi_V(v_1,v_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei $U$ und $V$
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
zueinander sind.
}{Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von $\Psi_U$ bezüglich einer Basis von $U$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Psi_V$ bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Blockmatrix}{}{}
aus $G$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
}{Der
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Bilinearformen sei
\mathl{(p,q)}{} bzw.
\mathl{(p',q')}{.} Zeige, dass der Typ von $\Theta$ gleich
\mathl{(p+p',q+q')}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem zweidimensionalen reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
die bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & b \\ b & c \end{pmatrix}} { }
beschrieben werde. Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Form in Abhängigkeit von
\mathl{b,c}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
bezüglich dieser Basis. Es sei
\maabbeledisp {\Psi} {V} { { V }^{ * }
} {v} { { \left( w \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) }
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
in den
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} und es sei
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
von
\mathl{{ V }^{ * }}{.} Zeige, dass die beschreibende Matrix von $\Psi$ bezüglich der beiden Basen die
\definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{}
von $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Spur}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) } } {K } {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) } } {,} eine \definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{} gestiftet wird, dass also \mathkor {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} {und} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) }} {} in natürlicher Weise dual zueinander sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei $M$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zur Form bezüglich einer gegebenen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$0$ von $M$, aufgefasst als
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $V$ nach $V$ bezüglich dieser Basis, gleich dem
\definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{}
der Form ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 7 & -1 \\ 7 & 5 & 6 \\-1 & 6 & -3 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{}
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-q,q)}{} auf einem
$n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von
\mathl{\det G}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und sei $a$ die Dimension des
\definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{}
der Form. Zeige, dass es einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Einschränkung der Form die Nullform ist und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ =} { {\min { \left( p , q \right) } } +a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige ebenfalls, dass es keinen Untervektorrraum größerer Dimension gibt, auf dem die Einschränkung die Nullform ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * } } {K } {(v,f)} { f(v) } {,} eine \definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{} zwischen \mathkor {} {V} {und} {{ V }^{ * }} {} stiftet.
}
{} {}
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