Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {2x+3y =7 \text{ und } 5x+4y = 3} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die folgenden Körper $K$
a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{\{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der Körper mit zwei Elementen aus
Beispiel 3.8,
d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \{0,1,2,3,4,5,6\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der Körper mit sieben Elementen aus
Beispiel 3.9.
}
{} {}
Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt
\zusatzklammer {siehe auch den Anhang} {} {.}
Eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
hat die Form
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} mit reellen Zahlen $a,b$. Bei der Multiplikation rechnet man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathrm i}\cdot { \mathrm i}
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die inverse komplexe Zahl zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b{ \mathrm i}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2+b^2 } } - { \frac{ b }{ a^2+b^2 } }{ \mathrm i}}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
-4 x
+6 y & = & 0 \\
5 x
+8 y & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gibt es eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ \Q^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 20\\5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 4.1?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie
\mathkor {} {S} {und} {T} {}
zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.
a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.
b) Löse dieses Gleichungssystem.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
Unter dem $i$-ten \stichwort {Standardvektor} {} der Länge $n$ versteht man den Vektor, der an der $i$-ten Stelle eine $1$ und sonst nur Nullen stehen hat.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
\zusatzklammer {der Länge $n$} {} {}
als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor
\zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {}
als Spaltenvektor aufgefasst wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 1- \frac{1}{2} { \mathrm i} & 4 { \mathrm i} \\ -5+7 { \mathrm i} & \sqrt{2} + { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5+4 { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} \\ \sqrt{2}- { \mathrm i} & e + \pi { \mathrm i} \\ 1 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\2-3 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen
\zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {}
durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2
}
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3
}
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4
}
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6
}
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7
}
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB
}
{ =} {C
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11}
}
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12}
}
{ =} { m_{3} + m_{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21}
}
{ =} { m_{2} + m_{4}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22}
}
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gelten.
}
{} {}
Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung
\zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {}
mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe
\mathkor {} {DM} {und} {MD} {.}
}
{} {}
Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 4.24} {} {}
und des Distributivgesetzes.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge aller quadratischen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n,p
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Transponieren von Matrizen}{}{}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ A,B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times p } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { ({ A^{ \text{tr} } } )^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A+B)^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ { A ^{ \text{tr} } } + { B^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (s A) ^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ s \cdot { A^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A \circ C)^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ { C^{ \text{tr} } } \circ { A ^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus
Beispiel 3.9.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-2 { \mathrm i} & 1+5 { \mathrm i} & 0 \\ 7 { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} & 4- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-2 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 2+3 { \mathrm i} \\ 5-7 { \mathrm i} & 2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die vierte
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4
}
{ =} { MMMM
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aussage wird sich über
Lemma 11.10
ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist. Genauer: Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
$B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C
}
{ = }{ A(BC)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde und beweise eine Formel für die $n$-te
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}