Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex
\setcounter{section}{34}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle ( \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} )
}
{ =} { \begin{cases} \alpha \, , \text{ falls } \alpha \leq \pi \, , \\ 2 \pi - \alpha\, , \text{ falls } \alpha > \pi \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass der Winkel zu
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
mit dem Winkel zu
\mathkor {} {su} {und} {tv} {}
übereinstimmt, wobei $s,t$ positive reelle Zahlen sind.
}
{} {}
Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten \stichwort {Strahlen} {}
\zusatzklammer {Halbgeraden} {} {}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Winkel}{}{}
\mathdisp {\angle (u,v)} { }
nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{u,v,w \in V}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (u,w)
}
{ \leq} { \angle (u, v) + \angle (v,w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {Winkel}{}{} gibt es auf einer Geraden?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man
\mathl{d(P,Q)}{}
\zusatzklammer {\mathlk{P,Q \in K}{}} {} {}
als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ansetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\alpha_n$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_1$ und dem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im $\R^n$. Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n} { . }
}
{} {}
Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.
\inputaufgabe
{}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren \mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {} bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 5 } } & - { \frac{ 4 }{ 5 } } \\ { \frac{ 4 }{ 5 } } & { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $M$.
}{Bestimme eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von ${\mathbb C}^2$, die aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $M$ besteht.
}
}
{} {}
Eine achsensymmetrische Ellipse wird im $\R^2$ durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^2+by^2
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\zusatzklammer {achsensymmetrische} {} {}
Ellipse $E$ im $\R^2$ und eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(E)
}
{ = }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine bijektive,
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} { \R^2 } { \R^2
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(S^1)
}
{ = }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(sv)
}
{ = }{s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} - \sin \alpha \\ \cos \alpha-1 \end{pmatrix}}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ und
\mathl{\begin{pmatrix} \cos \alpha-1 \\ \sin \alpha \end{pmatrix}}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ von $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
die
\definitionsverweis {Drehung}{}{} des Raumes um die $z$-Achse um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 7 \end{pmatrix}} { }
aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
und
\maabbdisp {M_\pi} { \R^n } { \R^n
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
bzw. lineare Abbildung. Zeige, dass $M_\pi$ eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist. Wann handelt es sich um eine
\definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bestimme zu jeder
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\pi \in S_3}{} für die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
die
\definitionsverweis {Eigengerade}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Gruppe der \definitionsverweis {räumlichen Drehungen}{}{} nicht kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ \langle \begin{pmatrix} 4 \\-8\\ 7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ = }{ \langle \begin{pmatrix} 4 \\-8\\ 7 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
im $\R^3$. Finde eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ \langle \varphi(e_1) \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ = }{ \langle \varphi(e_1) ,\, \varphi(e_2) \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & - \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & 0 & \sin \beta & - \cos \beta \end{pmatrix}} { }
ist eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^4} {\R^4
} {}
gegeben
\zusatzklammer {
\mathl{\alpha, \beta \in [0, \pi[}{}} {} {.}
Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Der $\R^n$ sei mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} { \Vert { v } \Vert_{\rm max}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {Mv} \Vert
}
{ =} { \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine solche Matrix nennen wir
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch.
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass eine
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}{Zeige, dass die Menge der
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrischen Matrizen eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
bildet.
}{Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist.
}{Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die $1$ jeweils ein $+$ oder ein $-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine $3 \times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich $1$ ist.
}{Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist.
}{Zeige, dass jede
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {normierte Vektoren}{}{}
in einem reellen Vektorraum $V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass der Vektor
\mathl{u+v}{} die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass sich jede eigentliche \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{} des $\R^3$ als \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von Drehungen um die drei \definitionsverweis {Koordinatenachsen}{}{} realisieren lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2+b^2+c^2+d^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(-ad+bc) & 2( ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(-ab+cd) \\2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
des $\R^3$ definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine komplexe
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
derart, dass die Spalten eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des ${\mathbb C}^2$ bilden und die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
gleich $1$ ist. Zeige, dass $M$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} u & - \overline{ v } \\ v & \overline{ u } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert { \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} } \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 12 }{ 13 } } \\ { \frac{ 12 }{ 13 } } & { \frac{ 5 }{ 13 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $M$.
}{Bestimme eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von ${\mathbb C}^2$, die aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $M$ besteht.
}
}
{} {}