Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex
\setcounter{section}{46}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
zu den folgenden
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
\aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\R,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\R,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\R,0,+)
}
{ \subseteq }{ ( {\mathbb C} ,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z d ,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\Z,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ({\mathbb C} \setminus \{0\} ,1, \cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid z^n = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der
\definitionsverweis {Index}{}{}
endlich?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_4$ mit der
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
$H$, die vom Dreierzyklus
\mathl{a \mapsto b,\, b \mapsto c,\, c \mapsto a}{} erzeugt wird. Bestimme die Links- und die
\definitionsverweis {Rechtsnebenklassen}{}{}
zu dieser Untergruppe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Gruppe $G$ der
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über dem Körper $\Z/(3)$ mit $3$ Elementen und die Untergruppe $H$, die aus allen invertierbaren Matrizen mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$ besteht. Welche der folgenden Matrizen sind untereinander
\definitionsverweis {äquivalent}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $H$} {} {,}
welche nicht?
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ,\,} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_1,H_2
}
{ \subseteq }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{}
\mathkor {} {\sim_1} {bzw.} {\sim_2} {.}
Zeige, dass die Äquivalenzrelation zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{H_1 \cap H_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $p$. Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzt, und dass die Potenzen
\mathdisp {g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 , \ldots , g^{ \operatorname{ord} \, (g)-1}} { }
alle verschieden sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(15)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Untergruppen und welche als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Elementen auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ \subseteq} {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Untergruppe der Matrizen mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse
\zusatzklammer {und auch die Rechtsnebenklasse} {} {}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit
\mathl{\det M}{} übereinstimmt.
Zeige auf möglichst viele Weisen, dass
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Normalteiler in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von
\definitionsverweis {Normalteilern}{}{}
\mathbed {N_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ein Normalteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Ist das Bild von $\varphi$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $H$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.
Es seien $G_0 , \ldots , G_n$
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und
\maabb {f_i} { G_{i-1} } { G_i
} {}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} f_{i+1}
}
{ = }{ \operatorname{bild} f_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann heißt
\mathdisp {G_0 \to G_1 \to \ldots \to G_{n-1} \to G_n} { }
eine \definitionswort {exakte Sequenz von Gruppen}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {G_0 \to G_1 \to \ldots \to G_{n-1} \to G_n} { }
eine
\definitionsverweis {exakte Sequenz von Gruppen}{}{,}
wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_0
}
{ = }{ G_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i = 0}^n { \# \left( G_i \right) } ^{(-1)^i}
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(20)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma)
}
{ =} { \operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein surjektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\varphi(N)$ eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {M
} {}
eine surjektive Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(gh)
}
{ = }{\varphi(g) \varphi(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ eine Gruppe
und $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel von drei
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ G
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an derart, dass $F$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}