Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex
\setcounter{section}{49}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass auf der Menge der
\zusatzklammer {geordneten} {} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
die
\definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist, die bei
\mathl{V \neq 0}{} aus genau zwei
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V \neq 0$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {
Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die
\definitionsverweis {
entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die beiden
\definitionsverweis {Basen}{}{}
des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x \\5\\ 7 \end{pmatrix}} { . }
a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\R^3$ repräsentieren?
b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Lucy Sonnenschein befindet sich in Position
\mathl{(-2,3)\in \Z^2}{}
\zusatzklammer {die Koordinaten seien mit
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
bezeichnet} {} {}
und schaut in die positive $x$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um $180$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um $360$ Grad und macht einen Schritt nach links.
Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {linie.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { linie.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit
\mathl{A,B,C}{} zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$ und $W$ zwei
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist, wenn es eine die
\definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$ und $M_\pi$ die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{.}
Zeige, dass $M$ genau dann
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gruppe der bijektiven linearen Abbildungen auf $V$. Zeige, dass die Menge der orientierungstreuen Abbildungen in $G$ einen
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
bilden. Welche Beziehung besteht zum Betrag der Determinante?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wikt puzzle favicon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Wikt puzzle favicon.svg } {} {Ephemeron} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der ebenen Drehung um $291$ Grad.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $45$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Zwölfteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ 360/12
}
{ = }{ 30
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte ein \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $Q$ das Quadrat im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
}{Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
}{Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat \zusatzklammer {mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt} {} {} gleich aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Zahlen treten als \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} von eigentlichen Wür\-felsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ in Matrixschreibweise, die $(1,0,0)$ auf $(0,0,-1)$ abbilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie viele \zusatzklammer {wesentlich verschiedene} {} {} Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von $1$ bis $6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets $7$ ergibt?
}
{Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Ecken $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ eines Würfels seien mit $1,2,3, \ldots ,8$ (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren: \aufzaehlungdrei{ $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, }{ $\begin{pmatrix} -1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, }{ $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. }
}
{Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$. Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt
\mathl{(0,0,1)}{} ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form $(u,0,v)$ besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und sei das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n
}
{ = }{ V \times \cdots \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen. Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {V^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,}
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $V$ repräsentieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $51$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Siebteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$. Es sei $\varphi$ eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch \mathkor {} {(1,1,1)} {und} {(-1,-1,-1)} {.} Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Symmetries of the tetrahedron.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Symmetries of the tetrahedron.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {GFDL} {}
Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.
}
{} {}