Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Symmetriegruppe}{}{}
und die
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
der Standardvektoren
\mathl{\{e_1,e_2,e_3\}}{} im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Konfiguration $T$ aus $n$ Punkten im $\R^3$ derart gibt, dass die
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
von $T$ unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Konfiguration aus endlich vielen Punkten im $\R^3$, die nicht alle kollinear sind. Zeige, dass die \definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{} von $T$ endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine zweielementige Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Symmetriegruppe}{}{}
und die
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
zu einer Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subset }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch den Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Symmetriegruppe}{}{}
und die
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
zu einer Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subset }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch den Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq} {T
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Teilmengen mit den zugehörigen
\definitionsverweis {eigentlichen Symmetriegruppen}{}{}
\mathkor {} {H} {und} {G} {.}
Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A_n$ eine
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein regelmäßiges $n$-Eck im $\R^2$ mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit
\mathl{(1,0)}{} als einem Eckpunkt. Bestimme die Matrizen, die die
\definitionsverweis {uneigentlichen Symmetrien}{}{}
von $E$ bezüglich der Standardbasis beschreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{O}_{ 3 } \! { \left( \R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Gruppe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ G \cap \operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber die Anzahl von $H$ die Hälfte der Anzahl von $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Definiere einen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{O}_{ n } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{SO}_{ n+1 } \! { \left( \R \right) }
} {}
von der Gruppe der
\definitionsverweis {Isometrien}{}{}
auf dem $\R^n$ in die Gruppe der
\definitionsverweis {eigentlichen Isometrien}{}{}
auf dem $\R^{n+1}$.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die sogenannte \stichwort {Kleinsche Vierergruppe} {.} Dies ist einfach die Produktgruppe $\Z/(2) \times \Z/(2)$.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Kleinsche Vierergruppe}{}{} zu einer \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_4$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der \definitionsverweis {Würfelgruppe}{}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_2$ isomorph zur \definitionsverweis {Kleinschen Vierergruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_3$ isomorph zur \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_3$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Doppelpyramide der Höhe $5$ über dem Quadrat mit den Eckpunkten
\mathl{(\pm 1, \pm 1)}{.}
Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diedergruppen}{}{}
\mathbed {D_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,}
nicht
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $W$ die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Man gebe eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{ \operatorname{id} \}
}
{ \subset} { G_1
}
{ \subset} { G_2
}
{ \subset \ldots \subset} { G_n
}
{ =} {W
}
}
{}{}{}
an derart, dass zwischen $G_i$ und $G_{i+1}$ keine weitere Untergruppe liegen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{} des Achsenkreuzes im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SO}_{3}\,(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Untergruppe. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Isotropiegruppe}{}{}
zu einer Halbachse aus dem
\definitionsverweis {Halbachsensystem}{}{}
zu $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SO}_{3}\,(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite
\zusatzklammer {in Matrixbeschreibung} {} {}
\definitionsverweis {innere Automorphismen}{}{}
der Würfelgruppe an, die die folgenden
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?
\aufzaehlungdrei{Die Isotropiegruppe zur $x$-Achse und zur $z$-Achse.
}{Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen
\mathl{\R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} und zur Raumdiagonalen
\mathl{\R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ -1 \end{pmatrix}}{.}
}{Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse
\mathl{\R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}}{} und zur Kantenmittelpunktsachse
\mathl{\R \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
\zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet das Zentrum einer Gruppe.
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Das \definitionswort {Zentrum}{} $Z=Z(G)$ von $G$ ist die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid gx=xg \text{ für alle } x \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Zentrum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\kappa} {G} { \operatorname{Aut} \, (G)
} {g} {\kappa_g
} {.}
Was ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und $n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht \anfuehrung{aus physikalischen Gründen}{} eine \anfuehrung{gleichverteilte}{} Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen $P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die $P$ in $Q$ überführt?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Wirkung der \definitionsverweis {Tetraedergruppe}{}{} auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen der Tetraedergruppe und der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_4$ ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte ein regelmäßiges $n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_n$. Beschreibe $D_n$ als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche $n$ handelt es sich um eine Untergruppe der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{O}_{ 2 } \!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {}
Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \not \subseteq }{ \operatorname{SO}_{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen surjektiven
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {G} {\Z/(2)
} {}
gibt, dessen
\definitionsverweis {Kern}{}{}
eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
ist. Schließe, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $G$ gerade ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit
\definitionsverweis {Zentrum}{}{} $Z(G)$. Zeige:
\aufzaehlungdrei{$G$ ist genau dann
\definitionsverweis {abelsch}{}{,} wenn
\mathl{G/Z(G)}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.
}{Der
\definitionsverweis {Index}{}{} von $Z(G)$ in $G$ ist keine Primzahl.
}{Ist $G$ von der Ordnung $pq$ für zwei Primzahlen $p$ und $q$, so ist $G$ abelsch oder $Z(G)$ trivial.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}
Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Sie gilt so lange, bis eine befriedigende Lösung auf Commons hochgeladen wurde.
\inputaufgabe
{10}
{
Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Ku\-geloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen \zusatzklammer {wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben} {} {,} und welche Endposition \zusatzklammer {?} {} {} sie einnehmen.
}
{} {}